Вероятность нахождения в группе внутри коллектива
Я давно не учился в школе, так что моя математика действительно ржавая.
Я играл в одну игру, в которой есть группа из десяти игроков, и двое из них случайным образом выбраны как «самозванцы».
Какова вероятность, что меня выберут одним из самозванцев?
Я рассудил это так:
Количество способов, которыми я могу быть самозванцем =$\binom{1}1$.
Количество способов выбора второго человека самозванцем =$\binom{9}1$.
Общее пространство для образца =$\binom{10}2\binom{8}8$.
Так что вероятность того, что я самозванец, равна $$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$
Когда я посмотрел на $m$ самозванцы и $n$ игроков, я использовал ту же логику, чтобы получить окончательную вероятность $\frac{m}{n}$. По какой-то причине я не ожидал такого результата (что это будет просто плоское соотношение). Есть ли в этом какая-то интуиция? Я ожидал, что результат будет меньше$m/n$, поскольку кажется, что существует так много перестановок, чтобы выбрать команду $m$ самозванцы (например, если $m = 10$, $n = 140$)
Ответы
Числитель неверен: вы ищете способы, в которых вы один из самозванцев. Есть 9 возможностей, а именно вы и кто-то еще, где кто-то выбирается из 9 человек. Обратите внимание, что порядок вас и другого человека не важен, поэтому достаточно выбрать другого человека.
Изменить: в общем, у вас есть $n$ люди (включая вас) и $m$ самозванцы.
Вероятность того, что вы самозванец: $\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. В числителе снова указано количество самозванцев, кроме вас, а в знаменателе - снова выбор самозванцев без каких-либо дополнительных ограничений.
На мой взгляд, это очень интуитивно понятно - m из n человек - самозванцы, так что у вас есть $m/n$вероятность быть самозванцем. Это что-то вроде «1 из 300 человек заражен коронавирусом, поэтому вероятность того, что он у вас есть» (с очень объективной точки зрения - я вас совсем не знаю) составляет 1/300.