Вероятность сдачи экзамена с учетом двух разных схем оценок

Aug 20 2020

Я обсудил с коллегой вероятность сдачи экзамена при двух разных схемах выставления оценок, и я не уверен, что верю тому, что сказал мой коллега.

Они заявили, что для экзамена с 10 вопросами, где проходная оценка составляет 5 правильных вопросов, и экзамена с 6 вопросами, где проходная оценка составляет 3 вопроса, было бы лучше сдать экзамен с 10 вопросами, поскольку существует повышенная вероятность сдачи. . Я не поверил аргументу, так как кажется, что экзамены эквивалентны, то есть для сдачи тоже нужно 50%. Однако мой коллега был непреклонен в своей точке зрения. Кто-нибудь может это прояснить?

Ответы

1 Penguino Aug 20 2020 at 07:58

Правильность или ошибочность утверждения вашего сверстника зависит от вероятности успеха правильного ответа на каждый вопрос.

Если вы предполагаете, что тест представляет собой набор $2N$ Верно / неверно вопросов, с N правильными ответами, необходимыми для прохождения, где ваша вероятность ответа на любой вопрос равна $p$, то вероятность $P$ прохождения теста такова, что:

для $p<0.5$, $P$ монотонно падает с ростом N и в пределе $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0$, поэтому всегда будет предпочтительнее выбирать тест с наименьшим количеством вопросов.

для $p=0.5$ вероятность прохождения все еще падает с увеличением N (но теперь асимптоты до 0,5), $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 0.5$, так что все равно выбирайте тест с наименьшим количеством вопросов.

для $0.5<p<2/3$ вероятность прохождения сначала падает с увеличением N, но затем увеличивается с увеличением N и в пределе $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$, поэтому ваш выбор будет зависеть от максимального количества вопросов. Например, если$p=0.51$ затем пройти тест с $N\simeq570$ вопросы немного лучше, чем пройти тест с $N=2$ вопросы.

для $p>2/3$ вероятность прохождения монотонно возрастает с увеличением N, и в пределе $N {\rightarrow} {\infty}$, $P {\rightarrow} 1.0$, поэтому всегда следует выбирать тест с наибольшим количеством вопросов.

В вашем примере, выбирая тест из 6 или 10 вопросов, ваша вероятность успеха будет примерно равна, если $p\simeq0.564$ (в этом случае $P\simeq0.7674$), лучше пройти тест из 6 вопросов, если $p<0.564$, но вам следует выбрать тест из 10 вопросов, если $p>0.564$.

EricSnyder Aug 20 2020 at 05:21

Ваш друг ошибается, если вы подбрасываете монетку, чтобы определить, правы вы или нет. Вы оба забыли, что возможна оценка 0, что означает, что ни у одного из них шанс пройти не составляет 50%.

В тесте с 10 вопросами набирается 6 из 11 возможных баллов. По тесту из 6 вопросов набирается 4/7 баллов. Если вы подбрасываете монеты, то вероятность паса равна

$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$ или $$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$

Для тестов из шести и 10 вопросов соответственно. Это 65% для теста из 6 вопросов и 62% для теста из 10 вопросов.

Лучше сдать экзамен из 6 вопросов, если вы действительно думаете, что каждый вопрос - это подбрасывание монеты, чтобы убедиться, правы ли вы.

FruDe Aug 20 2020 at 06:52

Ответ: это зависит от обстоятельств, но для проверки истинности / ложности ваш партнер неверен.

Получение 5 правильных и 5 неправильных - вот как заказать RRRRRWWWWW, где R - правильно, а W - неправильно. Есть$\binom{10}{5} = 252$способами. Аналогично для 6 правых, 7 правых и т. Д.

Это $\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, что равно $638$. Деление на$2^{10}$ получает нас ок. $0.623$.

Теперь, получив 3 правильных и 3 неправильных, вы заказываете RRRWWW. Мы хотим найти$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, который выходит на $42$. Деление на$2^6$ получает нас ок. $0.652$.

$0.623 < 0.652$, значит, ваш коллега неверен.