Вероятность того, что строка содержит все символы

Question

Учитывая строку длины $n$, на $26$ буквы английского алфавита, какова вероятность того, что он содержит все $26$ букв?

Я думал в этом направлении (но не нашел ответа).

Предположим, что исходный вопрос был задан длиной строки, какова вероятность того, что он содержит A, и это будет 1 - (вероятность того, что он не содержит A), поэтому

Но я не могу распространить эту идею на несколько персонажей. Кто-нибудь может мне помочь?

Answer 1

Если предположить, что буквы выбираются с равной вероятностью и независимо, тогда задача эквивалентна: Бросить $n$ шары внутри $m=26$ урны наугад, какова вероятность, что все урны непустые?

Общее количество (количество строк) явно $m^n$. Благоприятные события подсчитать труднее, нужно использовать принцип включения-исключения. Результат представлен числом Стирлинга второго рода , и здесь дано объяснение .

Следовательно, окончательный результат

$$ p = \frac{m! \, S_{n,m}}{m^n} $$