Вероятность того, что у пациента заболевание $X$

Aug 18 2020

Болезнь $X$ присутствует только в $0.1$% пациентов, прошедших тестирование. Тест положительный$99$% случаев, когда у пациента есть заболевание $X$. Если вы прошли тест на заболевание и положительный результат, то вероятность того, что вы заболели.$X$ является $10$%. Какова вероятность того, что у человека положительный результат теста, если он не болен?$X$?

Что я пробовал:

Позволять $A$ быть вероятностью того, что пациент болен $X$, и $B$ быть вероятностью того, что их тест положительный.

потом $P(A)=0.001$, что означает $P(\bar{A})=0.099$ и $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Теперь нам нужно найти$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

Также здесь есть: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Кажется, мы можем применить теорему Байеса. Но я не понимаю, как применить здесь формулу.

Ответы

1 Jared Aug 18 2020 at 09:50

Используя теорему Бая, вероятность положительного результата теста равна:

\ begin {align *} P (\ text {болезнь} | \ text {+ test}) = & \ \ frac {P (\ text {+ test} | \ text {болезнь}) P (\ text {болезнь}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {болезнь}) P (\ text {болезнь}) + P (\ text {+ test} | \ text {$\neg$болезнь}) P (\ text {$\neg$болезнь}) \\ = & \ .99 * 0,001 + 0,999x \ end {align *}

Мы можем найти $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ путем решения следующего уравнения (я смешиваю проценты с десятичными знаками):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Это означает, что вероятность положительного результата теста при отсутствии заболевания составляет приблизительно $0.89\%$.