Вероятность выбора пик или туза из колоды карт
Найдите вероятность, что данная $i$ карты из колоды $52$, $j$ из них пики и $k$ из них тузы, где $1\leq i\leq 52, \max\{i-39,0\}\leq j\leq \min\{i, 13\},$ и $\max\{i-48, 0\}\leq k\leq \min\{i, 4\}.$
В общем случае очевидно, что количество способов выбора $i$ карты это ${52\choose i}$. Определить$P(A_1)$ быть вероятностью того, что $j$ лопаты выбраны и $P(A_2)$ вероятность того, что $k$выбираются тузы. Вычислить$P(A_1),$ мы выбираем лопаты, а затем неспейды, и аналогично для $P(A_2)$. Вычислить$P(A_1\cap A_2),$мы рассматриваем количество возможностей, когда есть туз пик или нет туза пик. потом$P(A_1) = \dfrac{{13\choose j}{39\choose i-j}}{{52\choose i}}, P(A_2) = \dfrac{{4\choose k}{48\choose i-k}}{{52\choose i}}, P(A_1\cap A_2) = \dfrac{{1\choose 1}{3\choose k-1}{12\choose j-1}{36\choose i-j-k+1} + {3\choose k}{12\choose j}{36\choose i-j-k}}{{52\choose i}}$, где ${a\choose b} = 0$ если $b < 0$ или же $b > a$для простоты. Итак, желаемая вероятность - это результат$P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2).$
Это верно?
Ответы
Да. Ваши рассуждения и подсчет верны.
$$\begin{align} \mathsf P(\spadesuit_j)&=\left.\tbinom {13}{j}\tbinom{39}{i-j}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k)&=\left.\tbinom{4}{k}\tbinom{48}{i-k}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j)&=\left.\left[\tbinom 11\tbinom 3{k-1}\tbinom {12}{j-1}\tbinom{36}{i-j-k+1}+\tbinom10\tbinom 3k\tbinom{12}j\tbinom{36}{i-j-k}\right]\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cup\spadesuit_j)&=\mathsf P(\spadesuit_j)+\mathsf P(A_k)-\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j) \end{align}$$