Вопрос о дробных неравенствах

Question

$a,b$положительные целые числа. Позволять$\frac{a}{b}$ быть дробью с наименьшим возможным знаменателем $b$ такой, что $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. Определите стоимость$a+b$.

---

Я пытался упростить неравенство, но застрял. Однако я знаю это как$b$ должен быть наименьшим, как и $a$.

Есть идеи, как мне ответить на этот вопрос? Спасибо за любую помощь.

Answer 1

Может быть, поможет следующее.

У нас есть $$386b+1\leq2019a$$ и $$35b\geq183a+1.$$ Мы можем решить уравнение $35b=183a+1,$ который дает $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ где $k\geq0$ целое число, дающее дробь $\frac{13}{68}.$

Легко увидеть, что $\frac{13}{68}$ не является допустимым.

Теперь мы можем взять $k=1$, $k=2$, ...

Также мы можем решить уравнение $386b+1=2019a,$ который дает $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ где $k\geq0$ целое число.

Легко увидеть, что $\frac{373}{1951}$ действует.

Я получил это в первом случае $k=1$ действительно, что дает $\frac{48}{251}.$

Answer 2

Цепная дробь из$386/2019$ является $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

Цепная дробь из$35/183$ является $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Таким образом, простейшая дробь, которая находится строго между этими числами, представляет собой цепную дробь $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$