Вопрос в ответ пользователя в вопросе каждое биекция $f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ имеет бесконечно много разрывов

Question

Этот конкретный вопрос:

Покажи, что каждая биекция $ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$ имеет бесконечно много точек разрыва.

спросили в моей викторине.

Решить не удалось, поискал на MSE. Я нашел именно это решение.

Точки разрыва биективной функции $f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Но у меня есть вопрос в решении. Но и спрашивающий, и отвечающий очень долго не видны на сайте.

Поэтому я задаю свои сомнения отдельным вопросом:

В третьей строке ответа, приведенной в приведенной выше ссылке, как автор выводит, что $f(I_m)$это открытый интервал? Это означает, что$f$отображает открытые интервалы на открытые интервалы? Зачем?

Кто-нибудь может дать строгий ответ?

Answer 1

Если $f$ непрерывна и инъективна на открытом интервале $(a,b)$ тогда $f$монотонный. Предположим$f$повышается. По ИВП непрерывных функций изображение представляет собой интервал, назовем его$I$. Предположим, этот интервал содержит одну из своих конечных точек. Сказать$I=[t,s)$. потом$t=f(x)$ для некоторых $x \in (a,b)$. Выберите любой$s$ между $a$ и $x$. потом$f(s) <f(x)=t$противоречие. Так же,$I$ не может содержать его правую конечную точку.

Answer 2

Открытый интервал - это связное множество, и $f$ непрерывно, поэтому $f[I_m]$подключен. Единственными связанными подмножествами реальной прямой являются интервалы (открытые, полуоткрытые или закрытые), лучи (открытые или закрытые) и$\Bbb R$ сам, так $f[I_m]$. Если вы не знакомы с общим топологическим понятием связности, вы можете использовать теорему о промежуточном значении, чтобы показать, что$f[I_m]$должен быть одного из этих типов. Ключевым моментом является то, что это выпуклые подмножества$\Bbb R$: если $x$ и $y$ являются членами одного из этих наборов, и $x<z<y$, тогда $z$ также является членом этого множества.

Как указывается в доказательстве, $f\upharpoonright I_m$, будучи непрерывным и инъективным, является (строго) монотонным, поэтому он либо строго сохраняет порядок, либо строго меняет порядок. поскольку$I_m$ открытый интервал или открытый луч, это означает, что $f[I_m]$ также должен быть открытым интервалом или открытым лучом: если бы у него была конечная точка, эта конечная точка должна была бы быть изображением конечной точки $I_m$.