Возможен ли предварительный заказ с разными морфизмами?
Я не математик, новичок в теории категорий, и у меня возникнет следующий вопрос:
Возможен ли предварительный заказ с разными морфизмами? Каждая пара между каждым объектом по-прежнему имеет только один морфизм. Однако рассматриваемый морфизм всегда отличается (кроме морфизма идентичности).
Неформальный пример: следуя подходу Дэвида Спивакса [1], Олог представьте себе голодную собаку, которая всегда ест еду, купленную ее владельцем.
Предположим три объекта: Dogowner O, Dog D и Dog Food F. Дополнительно предположим четыре морфизма: «владеет», «ест», «покупает» (сокращенно от «покупает собачий корм», который является единственной вещью, которую он покупает) и « является".
Каждый объект является самим собой, поэтому существует морфизм «есть» от каждого объекта к самому себе. Соответственно, D "владеет" O, O "ест" F, а D "покупает" F. Наконец, собака по определению всегда голодна и ест всю данную ей пищу, поэтому она должна считать, что
"владеет" o "ест" = «покупает».
В этом случае вопрос: будет ли это предварительный заказ? Он соответствует всем критериям категории: даны морфизмы идентичности и композиционность. Следуя [2], он также удовлетворяет критерию предварительного порядка, что «proset является (строгой) тонкой категорией: строгой категорией, такой, что для любой пары объектов x, y существует не более одного морфизма от x к y. "
Однако я не видел ничего подобного ни в одном из обычных примеров: ⊆ и ≤ - обычные примеры для предварительных заказов и единственные морфизмы, применяемые к объектам в категории.
С уважением Павел
PS: Я не мог придумать более «формальный» пример, который может указывать на то, что я ошибаюсь.
ИСТОЧНИКИ:
[1] Спивак, Дэвид I, Роберт Э. Кент, «Ологи: категориальная основа для представления знаний» https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0024274
[2] https://ncatlab.org/nlab/show/preorder
Ответы
Да, это предварительный заказ. Одним из ключевых выводов теории категорий является то, что часто абстрактные свойства объектов (и морфизмы между ними) более важны, чем их конкретные описания. Как вы отметили, категория, которую вы описали, не «выглядит как предварительный заказ», потому что морфизмам не даются имена вроде$\subseteq$ или же $\leq$. Но теорию категорий не интересуют имена. Ваша категория удовлетворяет определению предварительного заказа, поэтому, например, если у вас есть какая-то причудливая теорема о предварительных заказах, было бы совершенно правильно применить ее к этой категории.
Краткий ответ: да. Имена / значения морфизмов не являются частью данных: важно то, как морфизмы складываются. Помните, что определение категории - это определение набора объектов и набора морфизмов (вместе с идентичностями и составом). (Может быть,$\{ \text{owns}, \text{eats}, \text{buys} \}$ не является, строго говоря, правильно сформированным набором, потому что априори элементы не были определены, хотя в целом безвредно считать его набором, потому что подойдет любой набор мощности 3.) Поэтому вам следует не стесняйтесь обозначать морфизмы, как вам нравится: если вы забудете имена и просто рассмотрите лежащий в основе граф вместе со структурой композиции, вы увидите, что у вас точно есть предварительный порядок.