Все ли наборы имеют жесткую эндокарту?

Question

Позволять $X$быть набором. Две эндокарты$f,f':X\to X$являются изоморфными , если существует биекция$g:X\to X$ такой, что $f'=g\circ f\circ g^{-1}$. Биекция$g:X\to X$ удовлетворение $f=g\circ f\circ g^{-1}$называется автоморфизмом $f$. Личность$X$является тривиальным автоморфизмом$f$. Эндокарта жесткая, если не допускает нетривиальных автоморфизмов.

Все ли наборы имеют жесткую эндокарту?

Ясно, что существование жесткого эндокарта данного множества $X$ зависит только от мощности $|X|$ из $X$.

Мы заявляем:

Если $|X|\le2^{\aleph_0}$, тогда $X$ имеет жесткую эндокарту.

Доказательство:

Позволять $X$ быть набором мощности не более $2^{\aleph_0}$, и покажем, что $X$ имеет жесткую эндокарту $f$. Можно предположить, что$X$ непусто.

Если $X=\{1,\ldots,n\}$ с участием $n\ge2$ мы установили $f(i)=\max\{1,i-1\}$. Если$X=\mathbb N$ мы установили $f(i)=\max\{0,i-1\}$.

Теперь предположим $\aleph_0<|X|\le2^{\aleph_0}$. (Мы пишем$|X|$ для мощности $X$.)

Позволять $I$ - множество классов изоморфизмов жестких эндотображений $\mathbb N$. Мы утверждаем

(1) $|I|=2^{\aleph_0}$.

Покажем, что из (1) следует, что $X$имеет жесткую эндокарту. Мы можем предположить$$ X=\bigsqcup_{j\in J}X_j $$ где $\bigsqcup$ означает «дискретное объединение», где $J$ это мощность $|X|$ множество неизоморфных жестких эндокарт $\mathbb N$, и где $X_j=\mathbb N$ для всех $j\in J$. Для каждого$j$ позволять $f_j$ быть эндокартой $X_j$ типа $j$. потом$$ f:=\bigsqcup_{j\in J}f_j $$ (очевидные обозначения) - жесткая эндокарта $X$.

Осталось доказать (1).

Позволять $X_0,X_1,\ldots$ непустые конечные подмножества $\mathbb N$ такой, что:

$\bullet\ \mathbb N=X_0\sqcup X_1\sqcup\cdots,$

$\bullet\ X_0=\{0\}$.

Для $n\ge1$ позволять $f_n:X_n\to X_{n-1}$ - отображение, слои которого имеют различные мощности, пусть $f_0$ быть единственным эндокартом $X_0$, и определим $f:\mathbb N\to\mathbb N$ от $f(x)=f_n(x)$ если $x\in X_n$.

Тогда легко увидеть, что $f$ жестко, и что у нас есть континуум-многие классы изоморфизма таких эндотображений $\mathbb N$.

Answer 1

На вопрос ответил YCor на MathOverlow.

Я хотел опубликовать ответ сообщества вики, который содержал только указанное выше предложение, но программа преобразовала его в комментарий. Я пытаюсь еще раз, добавив настоящее предложение и следующий отрывок из ответа YCor:

"... существует (для $X\neq\emptyset$) корневую древовидную структуру на $X$группа автоморфизмов которого тривиальна. Действительно, допуская это и обозначая$v_0$ корень, для вершины $v$ определить $f(v)$ так как $v_0$ если $v_0=v$, и как единственная вершина в $[v_0,v]$ на расстоянии от 1 до $v$в противном случае. потом$f\in X^X$ и его централизатор в $\mathrm{Sym}(X)$ группа автоморфизмов соответствующего корневого дерева, которое сводится к $\{\mathrm{id}_X\}$. "