Всегда ли существует функция $ f $ для которого $ Y - f ( X ) $ и $ X $ независимы?

Question

Позволять $ X $ и $ Y $ быть реальными случайными величинами.

Всегда ли существует функция $ f $ для которого $ Y - f ( X ) $ и $ X $ независимы?

Я пытался доказать это утверждение, но не смог.

Если утверждение неверно, должны существовать случайные величины. $ X $ и $ Y $ так что для любой функции $ f $, $ Y - f ( X ) $ и $ X $не являются независимыми.

Но я тоже не смог найти такую ​​пару случайных величин $ X $ и $ Y $.

Буду признателен за любой совет или подсказку!

Answer 1

Нет, но существует $f(X)$ такие, что они не коррелируют.

Две переменные $X$ и $Y$ независимы, если распределение вероятностей $Y|X$ не зависит от $X$. Рассматривать$Y|X \sim N(0, X^{2})$, тогда $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ что все еще зависит от $X$ для любой функции $f$.

Если мы определим $E[f(X)]$ так что $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, тогда $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Например, пусть$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ быть линейным.

Answer 2

Позволять $\Omega = \{a,b,c\}$ - вероятностное пространство с тремя исходами, каждый из которых имеет вероятность $1/3$. Позволять$X = 1_{\{a\}}$ и $Y = 1_{\{b\}}$. Вы можете проверить это, если$A,B$являются независимыми событиями в этом пространстве, то одно из них должно иметь вероятность 0 или 1; в результате любая случайная величина, не зависящая от$X$должно быть постоянным. Но$Y-f(X)$ никогда не может быть постоянным, так как он обязательно будет принимать разные значения при $b$ и $c$.