Вычисление интеграла с двумя переменными - переключение порядка интегрирования

Aug 18 2020

Мне нужно вычислить этот интеграл:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

Потому что мы не научились вычислять $\int e^{a}{x} dx$ (потому что в нем есть что-то с гамма-функцией и т. д.), это заставляет меня думать только об одном варианте - перевернуть $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

и поэтому $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

Что снова приводит меня к этой гамма-функции .. ($\Gamma$...) и мы не знаем, как с этим работать (нет в нашей программе)

Любая помощь будет оценена !! Благодаря!

Ответы

3 MarkViola Aug 18 2020 at 19:33

Вы правильно поменяли порядок интеграции.

Обратите внимание, что область интеграции простирается от $\sqrt y\le x\le 1$ с участием $y\in [0,1]$. Это тот же регион, что и регион$0\le y\le x^2$ с участием $x\in [0,1]$. Следовательно, мы имеем

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

А теперь можете подвести итог.