Вычисление предела частного двух бесконечных сумм
Как я могу оценить этот лимит?
$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$
По WolframAlpha, ограничение должно быть 2, но как это показать? Я вижу, что он монотонно увеличивается, поэтому, когда я смогу показать$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, это будет сделано. Но я немного застрял ...
Ответы
обратите внимание, что знаменатель можно переписать как $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ После этого сделать это становится довольно просто: разделите числитель и знаменатель на $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Это дает вам предел$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$
У правила L'Hopital есть дискретная версия при определенных условиях; обычно она известна как теорема Штольца-Чезаро . Здесь мы рассматриваем суммирование как интегрирование (и, наоборот, принимаем различия как дифференцирование). Утверждение обычно выглядит примерно так: если последовательность$\{ b_n \}$ положительный и $\sum b_n = \infty$ (т.е. расходящиеся), то для любой последовательности $\{ a_n \}$ таких, что $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, у нас есть
$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$
Довольно крутым следствием этого является тест сравнения пределов.
Для данного примера возьмем $a_n = 1/n$ и $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ получить $2$ как предел.
Интуитивное объяснение:
Соотношение
$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ и для выращивания $k$, период, термин $\frac12$становится все менее и менее значимым. При этом оба ряда расходятся, так что начальные члены значения не имеют.
С помощью более серьезного аргумента вы можете заключить суммы в скобки путем интегрирования и получить оценки вида $\log n+c$. Затем, сжимая
$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$
Сравнивая по срокам, мы имеем $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Так же, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Таким образом, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ и поэтому, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Теперь применим теорему сжатия.