Вычисление в области рациональных функций.
В Dummit and Foote 3 ed., Chapter 14, Section 2, Exercise 30 меня спрашивают следующее:
Позволять $ k $ быть полем, $ k(t) $ поле рациональных функций от переменной $ t $. Определите карты$ \sigma $ а также $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ от $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ за $ f(t) \in k(t) $. Докажите, что фиксированное поле$ \langle \tau \rangle $ является $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, фиксированное поле $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ является $ k(t(1-t)) $; определить фиксированное поле$ \langle \tau \sigma \rangle $ а также $ \langle \sigma \rangle $.
Единственная часть этого, с которой я борюсь, - это фиксированное поле $ \langle \sigma \rangle $. Назовите это фиксированное поле$ E = k(s) $, где $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $- некоторая рациональная функция. Обратите внимание : здесь я предполагаю, что$ E $ имеет форму $ k(s) $, и пока не может это априори оправдать . В предыдущем упражнении предыдущей главы я показал, что$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $Итак, поскольку $ k(t)/k(s) $ является расширением Галуа ($k(s)$ фиксированное поле подгруппы автоморфизмов), я ожидаю $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Все, что мне удалось сделать на данный момент, - это решить уравнение методом грубой силы на компьютере, задав $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ и решение уравнений, возникающих из $ \sigma s = s $. Таким образом я нашел элемент$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Отсюда я склонен заключить, что$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ фиксированное поле $ \langle \sigma \rangle $. Такой подход кажется неэлегантным, и я хотел бы знать, какие инструменты я мог бы использовать, чтобы избежать неудовлетворительного и непрозрачного компьютерного поиска.
Ответы
За $G$ конечная подгруппа $Aut(k(t)/k)$ то фиксированное подполе $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ где $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.
Тогда возьмем любой непостоянный коэффициент $a_m(t)$, потому что каждый $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ является преобразованием Мёбиуса, получаем, что $a_m(t)$ имеет самое большее $|G|$ полюса считаются с кратностью (включая полюс на $\infty$), таким образом $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ откуда следует, что $$k(t)^G=k(a_m(t))$$
Изменить с помощью OP: для этой проблемы метод создает элемент $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, уточняющий компьютерные расчеты.