Вычислить линейные интегралы $\int_C\text{F}\cdot d\mathbb{x}$

Question

$\def\hl#1#2{\bbox[#1,1px]{#2}} \def\box#1#2#3#4#5{\color{#2}{\bbox[0px, border: 2px solid #2]{\hl{#3}{\color{white}{\color{#3}{\boxed{\underline{\large\color{#1}{\text{#4}}}\\\color{#1}{#5}\\}}}}}}} \def\verts#1{\left\vert#1\right\vert} \def\Verts#1{\left\Vert#1\right\Vert} \def\pra#1{\left(#1\right)} \def\R{\mathbb{R}}$ $\box{black}{black}{} {Question} {\text{Compute the following line integrals $\ int_C \ text {F} \ cdot d \ mathbb {x}$:}\\ \text{(a) F$(х, у) = (х ^ 2, -у)$ and C is the graph of $у = е ^ х$ from $х = 2$ to $х = 1$}\\ \text{$(б)$ F$(х, у, z) = (z, -y, x)$ and C is line segment from $(5,0,2)$ to $(5,3,4)$}\\ \text{$(c)$ F$(х, у, z) = (х, у, z ^ 2)$ and C is the intersection of cylinder $х ^ 2 + у ^ 2 = 1$}\\ \text{and $г = х$ oriented counter-clockwise when viewed from above.}}$

Мои попытки

$(a)$ Рассмотрим параметризацию, т.е. $(x,y)=\left(1+t,e^{1+t}\right)$, и $(dx,dy)=(1,e^{1+t})$ где $t\in[0,1]$ \begin{align} \int_C\text{F}\cdot d\text{x}=&\int_C x^2dx-ydy\\ =&\int_0^1(1+t)^2-e^{2+2t}dt\\ =&\frac{7}{3} + \frac{e^2-e^4}{2} \end{align}

$(b)$ Позволять $(x,y,z)=(5,3t,2+2t)$ и $(dx,dy,dz)=(0,3,2)$ где $t\in[0,1]$, иметь \begin{align} \int_C\text{F}\cdot d\text{x}=&\int_Czdx-ydy+xdz\\ =&\int_0^1-9t+10dt\\ =&\frac{11}{2} \end{align}

$(c)$ Позволять $(x,y,z)=(\cos(t),\sin(t),\cos(t))$, тот $(dx,dy,dz)=(-\sin(t),\cos(t),-\sin(t))$ где $t\in[0,2\pi]$ \begin{align} \int_C\text{F}\cdot d\text{x}=&\int_Cxdx+ydy+z^2dz\\ =&\int_0^{2\pi}-\sin(t)\cos(t)+\sin(t)\cos(t)-\sin(t)\cos^2(t)dt\\ \vdots\\ =&0 \end{align}

Другой подход для $(c)$ можно было бы использовать теорему Стокса.

Позволять $S=\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2\le1,z=x\}$, что C - граница Стокса S. \begin{align} \int_{C}\text{F}\cdot d\text{x}=&\iint_S\nabla\times\text{F}\cdot\text{n}dA\\ =&\iint_S(0,0,0)\cdot\text{n}dA\\ =&0 \end{align} Мои решения верны?

Answer 1

Мы можем проверить все ваши ответы удобным способом, потому что все векторные поля консервативны

а)

$$f(x,y) = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}y^2 \implies f(2,e^2)-f(1,e) = \frac{7}{3} - \frac{(e^4-e^2)}{2}$$

б)

$$f(x,y,z) = xz - \frac{1}{2}y^2 \implies f(5,3,4) - f(5,0,2) = \frac{11}{2}$$

в)

$$f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{2}+\frac{z^3}{3} \implies \int_C \nabla f \cdot dr = 0$$

потому что это замкнутый цикл.