Выполняет функцию $f$ со следующим свойством существуют?
Вчера я видел этот вопрос , который требует исправления$n$, существует ли непрерывная функция $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ такой, что $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$Ответ - да, и есть много способов построить ответ (например, можно использовать интерполирующий полином или просто набор прямых линий). Мне было интересно, можно ли сказать что-нибудь еще, если$n$ не фиксируется, а именно:
Существует ли непрерывная функция $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ так что для каждого рационального $k / n$ в самые низкие сроки, $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$
Если да, то можно ли его легко построить? И как гладко может$f$быть, при этом удовлетворяя указанное выше свойство? (Я подозреваю, что ответ состоит в том, что существует аналитическое продолжение.)
Ответы
Ответ - нет. Рассматривать$\alpha \in (0,1)$ любое иррациональное число и $\frac{p_n}{q_n}$ любая сходящаяся к ней последовательность неприводимых дробей.
потом $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$.
Но это легко увидеть $q_n \rightarrow \infty$ и поэтому $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ уходит в ноль.
Так $f$ равен нулю на всех иррациональных числах, поэтому тождественно равен нулю, противоречие.
Обратите внимание, что ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ так что $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$