จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ
คำถามนี้ถูกถามที่นี่สองครั้งแล้วคือที่นี่และที่นี่แต่ไม่มีคำตอบใดที่ตอบคำถามเฉพาะของฉันยกเว้นอาจเป็นคำตอบนี้ซึ่งใกล้เคียง
ดังนั้นการใช้สัญกรณ์ของคำตอบที่ใกล้เคียงฉันไม่เข้าใจว่าทำไมฉันต้องแยกแยะสิ่งที่เป็นสิ่งที่สอง $(T,T)$ และ $(F,F)$.
ขอเรียกประโยคว่า "Q จำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับ P" R
ส่วน $(F,F)$ถ้า P เป็นเท็จเมื่อ Q เป็นเท็จสิ่งนี้จะส่งผลให้ R = true; เนื่องจาก Q จำเป็นสำหรับ P ดังนั้นการไม่มี Q จึงควรบ่งบอกถึงการไม่มี P ทำไมฉันถึงต้องการให้ R เป็นเท็จในกรณีนี้
และสำหรับ $(T,T)$ฉันจะจินตนาการถึงภาพที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น สมมติว่า P ขึ้นอยู่กับ Q และปัจจัยอื่น ๆ ซึ่งเรียกรวมกันว่า W. ตอนนี้เราควรแบ่งแถว$(T,T)$เป็น 2 ตัวหนึ่งมี W เท็จและอีกตัวหนึ่งมี W จริง ในกรณีที่มี W จริง R ควรประเมินเป็น T และในกรณีที่มี W เท็จ R ควรประเมินเป็นเท็จ ถ้าอย่างนั้นเราควรตัดสินใจที่จะออกกฎบนพื้นฐานใด$(T,T)$ในคำสั่งเดิม! ในความคิดของฉันแถวที่มี$(T,T)$ ควรจะไม่สามารถตัดสินใจได้
ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนอธิบายให้ฉันเข้าใจว่าทำไมคำตอบที่ถูกต้องคือ $¬(¬r∧¬p)→¬q∧¬((¬r∧¬p)→q)$ ในลักษณะอื่น ๆ
"จำเป็น" แปลเป็นอย่างนั้นและ "เพียงพอ" แปลเป็นอย่างนั้นดังนั้นการรวมคำแรกกับการปฏิเสธของที่สองจะให้คำตอบที่ถูกต้อง
ขอบคุณ
คำตอบ
แถลงการณ์ "$P$ เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ $Q$"หมายถึง" เพื่อให้มี $Q$เราต้องมี $P$" หรือ $Q \to P$แม้ว่าเราจะเขียนสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ด้วย $\neg P \to \neg Q$.
แถลงการณ์ "$P$ เพียงพอสำหรับ $Q$"หมายความว่า" ถ้าเรามี $P$เรามีแน่นอน $Q$" หรือ $P \to Q$แม้ว่าเราจะเขียนสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ด้วย $\neg Q \to \neg P$.
ดังนั้นคำสั่ง "$P$ เป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับ $Q$"สามารถเขียนเป็น $$(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q).$$ ในตัวอย่างที่คุณให้ไว้ $Q = q$ ในขณะที่ $P = \neg r \land \neg p$ เนื่องจากข้อมูลเฉพาะของคำถามอื่น ๆ และหากเราแทนที่คำถามเหล่านั้น $P$ และ $Q$เราได้รับข้อความที่คุณอ้างถึง
หากคุณดูคำสั่งเชิงตรรกะอย่างรอบคอบปรากฎว่า $(\neg P \to \neg Q) \land \neg (P \to Q)$ เป็นจริงในกรณีเดียวเท่านั้น: เมื่อ $P$ เป็นความจริง แต่ $Q$เป็นเท็จ ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? เพราะเพื่อที่จะสังเกต$P$ ไม่เพียงพอสำหรับ$Q$, $P$ จะต้องเกิดขึ้นและ $Q$ ยังต้องล้มเหลวที่จะเกิดขึ้น
สิ่งนี้ไม่ตรงกับสัญชาตญาณของเราสำหรับสิ่งที่ "$P$ เป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับ $Q$"หมายความว่าเราต้องการพูดว่า:
มีบางกรณีที่ $P$ เกิดขึ้นและ $Q$ ไม่เพราะ $P$ ไม่เพียงพอสำหรับ $Q$. อย่างไรก็ตามในทุกกรณีที่$Q$ เกิดขึ้น $P$ ยังเกิดขึ้น: $P$ เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ $Q$.
หากต้องการพูดสิ่งนี้ภาษาของข้อความเชิงตรรกะก็ไม่เพียงพอ! เราต้องมีตัวระบุปริมาณสำหรับพูดถึง "บางกรณี" และ "ทุกกรณี"
ปล่อย $P(x)$ และ $Q(x)$ แสดงว่า "ในกรณี $x$, $P$ ถือ "และ" ในกรณี $x$, $Q$ ถือ "จากนั้น:
- "$P$ เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับ $Q$"หมายความว่า $\forall x\, Q(x) \to P(x)$.
- "$P$ เพียงพอสำหรับ $Q$"หมายความว่า $\forall x\, P(x) \to Q(x)$. การปฏิเสธช่วยให้ง่ายขึ้น$\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)$.
แถลงการณ์ "$P$ เป็นสิ่งจำเป็น แต่ไม่เพียงพอสำหรับ $Q$"มีการตีความที่ซับซ้อนมากขึ้น $$ (\forall x\, Q(x) \to P(x)) \land (\exists x\, P(x) \land \neg Q(x)). $$ นั่นคือ: "ในทุกกรณี $x$ ที่ไหน $Q(x)$ ถือ $P(x)$ยังถือ. อย่างไรก็ตามมีกรณีที่$P(x)$ ถือ แต่ $Q(x)$ ไม่".
ข้อความเปล่าเช่น $P(x) \land Q(x)$ ไม่เป็นความจริงหรือเท็จเพราะ $x$ไม่ได้วัดปริมาณ คำสั่งสากล$\forall x\, P(x) \land Q(x)$ เป็นเท็จ (เพราะอย่างอื่น $P$ จะเพียงพอสำหรับ $Q$) แต่เป็นไปได้ว่า $\exists x\,P(x) \land Q(x)$เป็นความจริง. นี่คือสิ่งที่คุณต้องการพูดเมื่อคุณพูด "ในความคิดของฉันแถวที่มี$(T,T)$ ควรจะไม่สามารถตัดสินใจได้ "แต่นั่นไม่ใช่เรื่องที่เราสามารถพูดถึงได้หากไม่มีตัวบ่งชี้: หากไม่มีตัวระบุจำนวนแถวจะไม่สามารถตัดสินใจได้
ปัญหาที่นี่คือคุณกำลังปฏิบัติต่อนัยของวัสดุซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของการเชื่อมต่อเชิงตรรกะ $\to$ราวกับว่ามันเป็นความคิดที่แฝงอยู่ในชีวิตประจำวัน มันไม่ใช่
'$Q$ เพียงพอสำหรับ $P$'หมายความว่าถ้า $Q$ เป็นความจริงแล้ว $P$ต้องเป็นจริง เราจัดสิ่งนี้ให้เป็นทางการ$Q\to P$. ถ้า$P$ และ $Q$ เป็นเท็จทั้งคู่นี่เป็นความจริงอย่างชัดเจนเนื่องจากไม่มีอะไรเกี่ยวกับความจริงของ $P$ เมื่อไหร่ $Q$เป็นเท็จ นั่นเป็นเพียงวิธีการทำงานของนัยทางวัตถุ ด้วยประการฉะนี้$R$ ต้องเป็นเท็จเมื่อ $P$ และ $Q$ เป็นเท็จทั้งคู่เนื่องจากในกรณีนั้น $Q$ เป็นที่เพียงพอสำหรับการ$P$.
ความหมายยังเป็นจริงเมื่อทั้งสองอย่าง $P$ และ $Q$ เป็นเรื่องจริงเพียงเพราะว่า $P$เป็นความจริง; อีกครั้งนี่เป็นเพียงวิธีการทำงานของนัยทางวัตถุ ในแง่ที่เข้าใจง่ายความหมาย$Q\to P$ มีค่าความจริง $F$ ก็ต่อเมื่อสามารถแสดงความเท็จได้จริงจากค่าความจริงของ $P$ และ $Q$และจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อ $Q$ เป็นความจริงและ $P$เป็นเท็จ ในกรณีอื่น ๆ ค่าความจริงคือ$T$. ด้วยประการฉะนี้$R$ ต้องเป็นเท็จเมื่อ $P$ และ $Q$ เป็นความจริงทั้งคู่
หากต้องการพูดสิ่งเดียวกันด้วยคำที่แตกต่างกันเล็กน้อยก็ไม่เช่นกัน $(F,F)$ หรือ $(T,T)$ ออกกฎความเป็นไปได้ที่ $Q$ เพียงพอสำหรับ $P$ในกรณีเดียวเพราะเราไม่มี $Q$และในอีกกรณีหนึ่งเพราะเรามี $P$. กรณีเดียวที่จะออกกฎความเป็นไปได้นั้น$Q$ เพียงพอสำหรับ $P$ คือ $(F,T)$. ถ้าเรายืนยันเป็น$R$ ไม่ว่า $Q$คือไม่เพียงพอสำหรับการ$P$เรากำลังพิจารณาถึงความเป็นไปได้ที่ $Q$ เพียงพอสำหรับ $P$ดังนั้นเราจึงยืนยันว่า $P$ เป็นเท็จและ $Q$ เป็นความจริง.