โจทย์สมการอนุพันธ์สามัญ

Question

พิจารณา cquation เชิงอนุพันธ์ธรรมดา $y^{\prime}=y(y-1)(y-2)$

ข้อความใดต่อไปนี้เป็นจริง

(ก) ถ้า $y(0)=0.5$ แล้ว $y$ กำลังลดลง

(b) ถ้า $y(0)=1.2$ แล้ว $y$ กำลังเพิ่มขึ้น

(c) ถ้า $y(0)=2.5$ แล้ว $y$ ไม่ถูกผูกมัด

(ง) ถ้า $y(0)<0$ แล้ว $y$ อยู่ด้านล่าง

ฉันแก้โดยใช้การแยกตัวแปรและรับความสัมพันธ์โดยนัยเป็น

$\frac{ y(y-1)}{(y-2)^2}= A e^ {2x} $

ตอนนี้กลายเป็นเรื่องยากมากที่จะใช้เงื่อนไขและหาค่าของ $A$ และตรวจสอบตัวเลือก

มีวิธีง่ายๆในการแก้ปัญหาดังกล่าวหรือไม่?

Answer 1

ไม่จำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์คุณสามารถคาดการณ์พฤติกรรมของคำตอบได้โดยดูจากพฤติกรรมของ $y’$ สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

ตัวอย่างเช่นพิจารณาสองข้อความแรกเกี่ยวกับว่า $y’$ กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลงสำหรับค่าที่กำหนดของ $y$. เพียงใส่ไฟล์$y$ ค่าลงในนิพจน์สำหรับ $y’$ และพิจารณาว่ามันเป็นบวกหรือลบและนั่นจะบอกคุณว่าใช่หรือไม่ $y$ กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง

สำหรับสองกรณีหลังกระบวนการนี้จะละเอียดกว่าเล็กน้อย - คุณต้องสามารถสังเกตขอบเขตของการเริ่มต้นได้ $y$อยู่ที่ไหน $y$ จะยังคงเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างซ้ำซากจำเจและใช้ข้อมูลนั้นเพื่อพิจารณาว่าพฤติกรรมใดเป็นจริงหรือเท็จ