ไดอะแกรมปมไม่สลับ

Aug 16 2020

เริ่มต้นด้วยโค้งปิดและตัดกันโดยที่ทุกทางข้ามเป็นแนวขวาง ตอนนี้สร้างสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแผนภาพปมสลับดังนี้ เริ่มจากที่ใดก็ได้ ลัดเลาะไปตามทางโค้ง และทุกครั้งที่ข้ามไปก่อนหน้านี้ ให้ข้ามไปด้านบน หากมีการแวะข้ามทางม้าลายก่อนหน้านี้ ให้ทิ้งชื่อทางข้ามที่ได้รับมอบหมายไว้

สองตัวอย่างแสดงอยู่ด้านล่าง (ก) เห็นได้ชัดว่าไม่รู้ (b) เป็นสิ่งที่ไม่รู้เช่นกันบางทีอาจไม่ชัดเจน


วงกลมสีแดงหมายถึงจุดเริ่มต้น ลูกศรชี้ทิศทางการเคลื่อนที่


ฉันคาดว่าไดอะแกรมเหล่านี้จะแสดงถึงสิ่งที่ไม่ทราบได้อย่างชัดเจน แต่ฉันไม่เห็นข้อพิสูจน์ที่ชัดเจน ดังนั้น:

Q พิสูจน์ (หรือพิสูจน์หักล้าง) ว่าแผนภาพปมดังกล่าวแสดงถึงสิ่งที่ไม่รู้จักเสมอ

คำตอบ

2 JoeBoninger Mar 13 2021 at 03:52

ไดอะแกรมอย่างที่คุณอธิบายเรียกว่าไดอะแกรมจากมากไปน้อยและแน่นอนจะส่งผลให้เกิดปมเล็กน้อย สำหรับหลักฐาน ดูเล็มมา 3.2.10 จากhttp://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf. คำตอบก่อนหน้านี้มีความคิดที่ถูกต้อง

1 N.Owad Aug 16 2020 at 22:40

นี่เป็นสิ่งที่ไม่รู้เสมอ ฉันได้รับการแนะนำให้รู้จักกับเรื่องนี้โดยที่ปรึกษาของฉัน แต่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นข้อโต้แย้งของเขาในขั้นต้นเช่นกัน ดังนั้นฉันจึงไม่รู้ว่าใครทำสิ่งนี้ก่อน

ในการดูสิ่งนี้ เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าหมายเลขสะพานของปมเป็นหนึ่ง ถ้าหากว่านอตนั้นไม่มีน็อต

วาดเส้นโครงของปมและเลือกจุดเริ่มต้นของคุณ เราจะทำการฉายภาพนี้เป็นไดอะแกรมโดยทำการข้ามเท่านั้นเมื่อเราสำรวจการฉายภาพ ถ้าฉายภาพใน drawn$x,y$ เครื่องบินที่ไหน $z=0$, เราสามารถสร้างปมใน $\mathbb{R}^3$ โดยทำให้ทุก $i$- ด่านใหม่ที่เรามาถึงที่ระดับ $z=i$. ดังนั้นเมื่อเราเจอทางข้ามทั้งหมดในภาพฉายแล้วและกำลังจะกลับด่านแรก ปมของเราใน 3 สเปซต้องถอยกลับจากที่สูงบ้าง$z$ ค่ากลับไป $z=0$.

สิ่งที่เรามีคือฟังก์ชันความสูงที่ปมเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดทุกที่ยกเว้นส่วนเล็ก ๆ ระหว่างการข้ามครั้งสุดท้ายและการข้ามครั้งแรก ดังนั้นจึงมีหนึ่งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดหนึ่งค่า ดังนั้น จึงมีโหนดบริดจ์หมายเลข 1 ซึ่งไม่มีข้อมูล

1 StinkingBishop Aug 16 2020 at 22:39

ไม่แน่ใจว่ามีประโยชน์แค่ไหน เนื่องจากฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ แต่นี่เป็นแนวคิดที่อาจถูกต้อง

ขั้นแรก แนะนำมิติที่สาม ตั้งฉากกับภาพวาดของคุณ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุด "เริ่มต้น" เป็นการฉายภาพของส่วนที่ตรง "ขึ้น" จากนั้นจึงควรวางปมที่เหลือเพื่อที่ว่าในขณะที่เดินไปตามเส้น คุณจะลงไปเท่านั้น ลองนึกภาพหมวกเกราะ (มีบันไดเกือบแนวตั้งขึ้นไป) แล้วคุณจะมีความคิดที่ดีว่าฉันหมายถึงอะไร ตอนนี้มันค่อนข้างจะโบกมือไปหน่อย แต่ฉันเชื่อว่าคุณสามารถกำหนดความสูงคงที่ให้กับทางแยกแต่ละทางได้ ในขณะที่คุณเดินผ่านพวกมันระหว่างทาง "ลง" แล้วขยายไปยังจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนปม (เช่น ถ้าส่วน "บันได" ขึ้นจากที่สูง$0$ ถึง $1$, สำหรับ $n$ ทางแยกผ่านแต่ละแยก 2 ครั้ง จองความสูงได้ $\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$ สำหรับจุด "ตัด" บนปม)

ส่วนที่เหลือควรเป็นการคำนวณอย่างง่ายเพื่อแสดงว่าปมนี้สามารถบิดเบี้ยวได้ หากสมการของปมเดิม (ส่วน "สไลด์") ถูกกำหนดพารามิเตอร์เป็น$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$, กับ $\rho(0)=\rho(1)=0$แล้วทำให้เสียรูปสำหรับ $\lambda\in[0,1]$ เป็น $(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$. $\lambda=1$ ให้ปมเดิมในขณะที่ $\lambda=0$ ให้ชัดเจนไม่รู้ใน $x-z$ เครื่องบิน.