Fibrant Replacement Functor: การทำงานกับ morphisms

Question

ฉันกำลังอ่านด้านล่างในหมวดหมู่รุ่นโดย Hovey

และก่อนที่เราจะไปต่อไปนี่คือคำจำกัดความของหมวดหมู่โมเดลที่ฉันกำลังทำงานด้วย:

จากการอ่านคำตอบจากFibrant replacement functorฉันรู้วิธี$Q$ ทำหน้าที่กับวัตถุ แต่ฉันยังไม่แน่ใจว่ามันทำหน้าที่อย่างไรกับมอร์ฟีน

ฉันเดาว่าจะเป็นดังต่อไปนี้

ขอแสดงความนับถือ $\phi$เป็นวัตถุเริ่มต้น ฉันต้องการทราบว่าคืออะไร$Q(f \colon X \rightarrow Y)$.

พิจารณาการแยกตัวประกอบของ $i_1 \colon \phi \rightarrow Y$ โดย $i_1 = \beta(g) \alpha(g)$ และการแยกตัวประกอบของ $i_2 \colon \phi \rightarrow X$ โดย $i_2 = \beta(h) \alpha(h)$, ที่ไหน $\alpha(g) \colon \phi \rightarrow QY$ และ $\alpha(h) \colon \phi \rightarrow QX$.

เราอาจพิจารณากำลังสองสับเปลี่ยนต่อไปนี้

$\alpha(h)$ คือ cofibration และ $\beta(g)$ เป็นเส้นใยเล็กน้อยดังนั้นจึงมีการยก $k \colon QX \rightarrow QY$.

ตอนนี้ฉันต้องการที่จะพูด $Qf = k$แต่ลิฟท์นี้อาจไม่ซ้ำใครจึงทำให้เกิดปัญหาได้

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมขอบคุณ!

Answer 1

คุณเขียน "fibrant replacement functor" แต่ใช้สัญกรณ์ $Q$ซึ่งเป็นสัญกรณ์สำหรับ functor ทดแทนโคฟีบรานต์ ฉันไปกับคนที่โง่เขลา แต่แน่นอนสำหรับ$Q$เรื่องราวเป็นแบบคู่ทั้งหมด

ถ้า $f: X\to Y$คุณมี morphism ของ morphisms:

$\require{AMScd}\begin{CD} X @>>> Y \\ @VpVV @VqVV \\ *@>>> *\end{CD}$

และตั้งแต่นั้นมา $(\gamma,\delta)$ โดยการสมมติว่าเป็นตัวประกอบของ functorial คุณจะได้รับแผนที่ $\gamma(p)\to \gamma(q)$นั่นคือกำลังสองสับเปลี่ยน:

$\begin{CD}X @>>> Y \\ @V\gamma(p)VV @V\gamma(q)VV \\ R(X) @>>> R(Y)\end{CD}$

ด้วย $R(X) \to R(Y)$ถูกกำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของข้อมูลของ$\gamma((f,id_*))$ (สังเกตว่าใน $\gamma(p)$, ที่เราเห็น $p$เป็นวัตถุของหมวดลูกศรในขณะที่อยู่ใน$\gamma((f,id_*))$, $(f,id_*)$ เป็นลูกศรในหมวดลูกศร)

ความจริงที่ว่าแผนที่นี้ $R(f): R(X)\to R(Y)$ ทำให้ $R$ เป็น functor ตามมาจากความจริงที่ว่า $\gamma$ เป็นนักแสดงและนั่น $(g,id_*)\circ (f,id_*)= (g\circ f,id_*)$