Isomorphism Isometric ระหว่าง Banach Spaces

Question

ปล่อย $X$ เป็นพื้นที่ Hausdorff ขนาดกะทัดรัดและ $K$ เป็นพื้นที่ย่อยขนาดกะทัดรัดของ $X$. ฉันจำเป็นต้องแสดงสิ่งนั้น$C(X)/\{f:f|_K=0\}$ isomorphism แบบมีมิติเท่ากันถึง $C(K)$. บรรทัดฐานที่ใช้ที่นี่เป็นบรรทัดฐานปกติ

ฉันได้แสดงให้เห็นว่าแผนที่ผลหารเกิดจาก $\phi:f\mapsto f|_K$เป็นแผนที่ต่อเนื่องที่คาดเดาได้ การคาดเดาดังกล่าวมาจาก Tietze Extension Theorem ฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการอย่างไรกับส่วนไอโซเมตริกแม้ว่าฉันจะรู้สึกว่าต้องใช้คำศัพท์ของ Urysohn ที่ไหนสักแห่ง

ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ขอบคุณ

Answer 1

คำแนะนำ s:

ปล่อย $Z_K:=\{f:f|_K=0\}$ และ $\alpha:C(X)/Z_K\to C(K)$, $f+Z_K\mapsto f|_K$ เป็นแผนที่ของคำถาม

สำหรับการแสดงส่วนของภาพสามมิติให้ $f\in C(X)$ได้รับ เราต้องแสดงให้เห็นว่า$\|f+Z_K\|=\|f_K\|$ ถือ.

ขั้นแรกแสดงความไม่เท่าเทียมกัน $\|f+Z_K\|\geq \|f|_K\|$โดยใช้นิยามของบรรทัดฐาน สำหรับอสมการอื่น ๆ ให้หาฟังก์ชันก่อน$g\in C(X)$ ดังนั้น $g=f$ บน $K$ แต่ $\|g\|\leq \|f|_K\|$ (คุณจะสร้างฟังก์ชันดังกล่าวได้อย่างไร $g$?). จากนั้นอสมการอื่น ๆ จะตามมาเพราะ$f+Z_K=g+Z_K$.