การแก้ $z^4=(2+3i)^4$

Question

ในการแก้สมการฉันคำนวณด้านขวา:

$z^4=(2+3i)^4=(-5+12i)^2=-119-120 i$

แล้วฉันจะได้รับคำตอบที่ถูกต้อง:

$z_k=\underbrace{\sqrt[8]{119^2+120^2}}_{\sqrt{13}} \times Cis(\cfrac{\pi+\tan^{-1}(\frac{120}{119})}{4}+\cfrac{k \pi}{2}), k=0,1,2,3$

แต่ฉันกำลังมองหาวิธีแก้สมการ $z^4=(2+3i)^4$โดยไม่ต้องขยายด้านขวา ฉันจึงลอง:

$z={ \left| r \right| }e^{i \theta}$

$r^4e^{4 \theta i}=(\sqrt{13} e^{(2k\pi+\tan ^{-1}(\frac{3}{2}))i})^4$

$r=\sqrt{13}$

$4\theta=4 \times {(2k\pi+\tan ^{-1}(\frac{3}{2}))}$

$\theta=2k\pi+\tan ^{-1}(\frac{3}{2})$

แต่ฉันคำนวณค่าของ $\theta$ผิด จะแก้ไขได้อย่างไร?

Answer 1

ถ้า $z^4=(2+3i)^4$ แล้ว $Z^4 = 1$ ที่ไหน $Z = \frac{z}{2+3i}$.

ดังนั้นชุดโซลูชั่นคือ

$$\{(2+3i), -(2+3i), i(2+3i), -i(2+3i)\}=\\ \{\sqrt{13} e^{i \phi},\sqrt{13} e^{i (\phi + \pi)},\sqrt{13} e^{i (\phi + \pi/2)},\sqrt{13}e^{i (\phi - \pi/2)}\}$$

ที่ไหน $\phi$ เป็นเช่นนั้น $\cos \phi = \frac{2}{\sqrt{13}}, \sin \phi =\frac{3}{\sqrt{13}}$.

Answer 2

หรืออีกวิธีหนึ่งคือแก้ $$ \left(\dfrac{z}{2+3i}\right)^4=1 $$

Answer 3

ฉันขอแนะนำให้คุณไปถึงนี้คำตอบของฉัน

ตอนนี้ ... ดำเนินการตามด้านบนเรามีหนึ่งคำตอบของสมการดังนี้$z=2+3i$ เพียงเติมช่องสี่เหลี่ยมให้ครบตามมูลค่า $n$ คือ $4$ ที่นี่.

ตารางของคุณจะมีลักษณะดังนี้:

นี่คือ 4 วิธีแก้ปัญหาของคุณ :)

Answer 4

เรามีสิ่งนั้น

$$w^4=1 \iff w_k=i^k \quad k=0,1,2,3$$

แล้ว $(z\cdot w_k)^4=z^4$ และ

$$z^4=(2+3i)^4 \iff z_k=(2+3i)\cdot i^k\quad k=0,1,2,3$$

Answer 5

ง่ายกว่ามาก: $z^4 =(2+3i)^4= 1\cdot (2+3i)^4$

และ $z = 1^{\frac 14} (2+3i)$, ที่ไหน $1^{\frac 14}$ เข้าใจว่าหมายถึงรากที่สี่ที่ซับซ้อนทั้งสี่ของ $1$กล่าวคือ $\pm 1, \pm i$.

Answer 6

คำแนะนำ: ใช้ข้อเท็จจริง $$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$$ และ $$x^2+a^2=(x-ai)(x+ai)$$ ดังนั้น $$z^4-(2+3i)^4=0$$ $$\left ( x^2-(2+3i)^2 \right )\left ( x^2+(2+3i)^2 \right )=0$$ $$\left ( x-(2+3i) \right )\left ( x+(2+3i) \right )\left ( x-(2+3i)i \right )\left ( x+(2+3i)i \right )=0$$

Answer 7

ทางออกหนึ่งที่ชัดเจน $$z_1=2+3i$$ ส่วนที่เหลือจะกระจายไปยังไฟล์ $90^{\circ}$ วงกลมองศาดังนั้น: $$z_2=(2+3i)\cdot i$$ $$z_3=(2+3i)\cdot i\cdot i$$ $$z_3=(2+3i)\cdot i\cdot i\cdot i$$

Answer 8

เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่เมื่อคุณมี $n$รากที่ - $z$ ของจำนวนเชิงซ้อนคุณจะได้รับทั้งหมด $n$- รากคูณ $z$ โดยทั้งหมด $n$- รากแห่งความสามัคคี รากที่สี่ของ$1$เหรอ?