การปรับปรุงทฤษฎีบทของ Sobczyk
ทฤษฎีบทของ Sobczyk ระบุว่าหากพื้นที่ Banach ที่แยกออกได้ $X$ มีพื้นที่ย่อยที่มีมิติเท่ากันกับ $c_{0}$แล้ว $X$ มีพื้นที่ย่อย $Z$ ซึ่งมีมิติเท่ากันกับ $c_{0}$ และคือ $2$- ดำเนินการใน $X$. ตั้งแต่ทุกการฉายจาก$c$ ไปยังพื้นที่ย่อยของมัน $c_{0}$มีบรรทัดฐานอย่างน้อยสองค่าคงที่การฉายในทฤษฎีบทของ Sobczyk โดยทั่วไปไม่สามารถปรับปรุงได้ ในปี 2542 PN Dowling, N. Randrianantoanina และ B. Turett ( ข้อสังเกตเกี่ยวกับทฤษฎีการบิดเบือนของ James II, Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 515-522 ) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:
ทฤษฎีบท:ให้$X$ เป็นพื้นที่ Banach เพื่อให้หน่วยบอล $B_{X^{*}}$อ่อนแอ * - กระชับตามลำดับ ถ้า$X$ มีไอโซมอร์ฟิกย่อยถึง $c_{0}$จากนั้นสำหรับทุกๆ $\epsilon>0$มีพื้นที่ย่อยอยู่ $Z$ ของ $X$ และการฉายภาพ $P$ จาก $X$ ไปยัง $Z$ ดังนั้น $Z$ คือ $(1+\epsilon)$-isomorphic ถึง $c_{0}$ และ $\|P\|\leq 1+\epsilon$.
ผลลัพธ์ที่คล้ายกับทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดย S. Diaz และ A. Fernandez (S. Diaz และ A. Fernandez, Reflexivity in Banach lattices, Arch Math. 63 (1994), 549-552 ) ในการตั้งค่าช่องว่าง Banach ที่ไม่มี สำเนา isomorphic ของ$l_{1}$. PN Dowling, N. Randrianantoanina และ B. Turett ตั้งคำถามตามธรรมชาติดังต่อไปนี้:
คำถาม:ถ้าช่องว่าง Banach$X$ มีสำเนาเสริมของ $c_{0}$จากนั้นสำหรับทุกๆ $\epsilon>0$มีพื้นที่ย่อยหรือไม่ $Z$ ของ $X$ และการฉายภาพ $P$ จาก $X$ ไปยัง $Z$ ดังนั้น $Z$ คือ $(1+\epsilon)$-isomorphic ถึง $c_{0}$ และ $\|P\|\leq 1+\epsilon$เหรอ?
ฉันไม่ทราบว่าคำถามนี้ได้รับการแก้ไขหรือมีผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับคำถามนี้
ขอขอบคุณ!
คำตอบ
Narcisse และฉันให้ตัวอย่างการตอบโต้ใน
จอห์นสันวิลเลียมบี (1-TXAM); Randrianantoanina, Narcisse (1-MMOH) เกี่ยวกับทฤษฎีบทการบิดเบือนของ James ในเวอร์ชันเสริม (สรุปภาษาอังกฤษ) Proc. Amer. คณิตศาสตร์. Soc. 135 (2550) เลขที่ 9, 2751–2757
คุณสามารถค้นพบสิ่งนี้ได้เพียงแค่ตรวจสอบความคิดเห็นของ MathSciNet ของเอกสารที่อ้างถึงกระดาษ [DRT]