การสรุปอนุกรมทวินามนี้

Question

ฉันพบคำถามที่น่าสนใจจริงๆซึ่งมีดังนี้พิสูจน์ว่าค่าของ $$\sum^{7}_{k=0}[({7\choose k}/{14\choose k})*\sum^{14}_{r=k}{r\choose k}{14\choose r}] = 6^7$$

แนวทางของฉัน:

ฉันพยายามทำให้ซิกม่าด้านในสุดง่ายขึ้นและพยายามทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้ ${n\choose k}=n!/k!(n-k)!$ อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถรับสิ่งนี้ได้

ฉันเดาว่าการสรุปจะง่ายขึ้นในซีรีส์มาตรฐาน แต่ฉันไม่สามารถพูดได้อย่างแน่นอน กรุณาช่วยฉันด้วย

Answer 1

ก่อนอื่นฉันไม่คิดว่าผลรวมของคุณค่อนข้างถูกต้อง ขอบเขตของผลรวมภายนอกควรเป็น $k=0$ ถึง $7$ฉันเชื่อว่ามิฉะนั้นมูลค่าจะไม่เป็นเช่นนั้น $6^7$. (แก้ไขคำถามแล้ว)

คุณมาถูกทางแล้วที่การเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทวินามใหม่ในรูปของแฟกทอเรียลจะช่วยได้ แม้ว่าปัจจัยภายในผลรวมมากกว่า$r$จะไม่ทำให้ง่ายมากนักด้วยตัวเอง วิธีแก้ไขคือนำปัจจัย$1/\binom{14}{k}$เป็นผลรวมที่สอง สิ่งนี้ทำให้เรา$$ \left.\frac{r!}{k!(r-k)!}\frac{14!}{r!(14-r)!}\right/\frac{14!}{k!(14-k)!} = \frac{(14-k)!}{(r-k)!(14-k)!}\ . $$ สิ่งนี้สามารถรับรู้ได้ว่า $\binom{14-k}{r-k}$. โปรดทราบว่าผลรวมภายในมาจาก$r = k$ ถึง $14$เราสามารถปล่อยให้ $t = r-k$และเปลี่ยนขอบเขตเป็น $0$ และ $14-k$. สิ่งนี้จะเปลี่ยนผลรวมภายในเป็น$$ \sum_{t=0}^{14-k} \binom{14-k}{t} = 2^{14-k}\ . $$ สามารถประเมินผลรวมภายนอกได้แล้ว $$ \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} 2^{14-k} = 2^7\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} 2^{7-k} = 2^7(1+2)^7 = 6^7\ . $$

Answer 2

การใช้ $${14 \choose r}{r \choose k} = {14 \choose k}{14-k \choose r-k}$$ ลดลงเป็น

$$ \begin{align*} & \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \bigg\{\sum^{14}_{r=k} {14-k \choose r-k} \bigg\} \\ & = \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} \{2^{14-k}\} \\ & = 2^{7} \times \sum_{k=0}^7 {7 \choose k} 2^{7-k} \\ & = 2^{7}\times(2+1)^{7} \\ & = 6^7 \end{align*} $$

แก้ไข:ตามที่ @ElliotYu ชี้ไว้ขอบเขตด้านนอกควรมาจาก$0$ ถึง $7$.

Answer 3

การตั้งค่า $n=7$ เราได้รับ \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n}&\color{blue}{\binom{n}{k}\binom{2n}{k}^{-1}\sum_{r=k}^{2n}\binom{r}{k}\binom{2n}{r}}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{k!(2n-k)!}{(2n)!}\sum_{r=k}^{2n}\frac{r!}{k!(r-k)!}\,\frac{(2n)!}{r!(2n-r)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\sum_{r=k}^{2n}\binom{2n-k}{r-k}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n }{k}\sum_{r=0}^{2n-k}\binom{2n-k}{r}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{2n-k}\\ &=2^{2n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{2^k}\\ &=2^{2n}\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\\ &\,\,\color{blue}{=6^n} \end{align*} และการเรียกร้องดังต่อไปนี้