การอธิบายอนุพันธ์ทิศทาง
ฉันพยายามที่จะเข้าใจแนวคิดของอนุพันธ์ทิศทางจากมุมมองของตำราแคลคูลัสหลายตัวแปรของฉัน ฉันได้พิมพ์สรุปคำอธิบายโดยมีคำถามที่ตอบไม่ได้เป็นตัวหนา ยินดีต้อนรับคำตอบที่เข้าใจง่ายคำตอบทางเรขาคณิตคำตอบทางกายภาพ ยินดีต้อนรับคำตอบที่เป็นทางการและเข้มงวด คำอธิบายบางส่วน (ตอบคำถามข้อเดียว ฯลฯ ) ก็ยินดีเป็นอย่างยิ่ง!
พิจารณาปัญหาในการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $\phi$ในทิศทางที่เฉพาะเจาะจง สำหรับการกระจัดเวกเตอร์น้อยที่สุด$d \mathbf{r},$ สร้างผลิตภัณฑ์สเกลาร์ด้วย $\nabla \phi$ เราได้รับ $$ \begin{aligned} \nabla \phi \cdot d \mathbf{r} &=\left(\mathbf{i} \frac{\partial \phi}{\partial x}+\mathbf{j} \frac{\partial \phi}{\partial y}+\mathbf{k} \frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \cdot(\mathbf{i} d x+\mathbf{j} d y+\mathbf{k} d x) \\ &=\frac{\partial \phi}{\partial x} d x+\frac{\partial \phi}{\partial y} d y+\frac{\partial \phi}{\partial z} d z \\ &=d \phi \end{aligned} $$ ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงที่น้อยที่สุดใน $\phi$ ในการออกจากตำแหน่ง $\mathbf{r}$ ถึง $\mathbf{r}+d \mathbf{r} .$ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า $\mathbf{r}$ ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์บางอย่าง $u$ ดังนั้น $\mathbf{r}(u)$ กำหนดเส้นโค้งอวกาศจากนั้นจึงหาอนุพันธ์ทั้งหมดของ $\phi$ ด้วยความเคารพ $u$ ตามเส้นโค้งนั้นเรียบง่าย $$ \frac{d \phi}{d u}=\nabla \phi \cdot \frac{d \mathbf{r}}{d u}. $$ คำถามที่ 1: เราได้สิ่งนี้มาได้อย่างไร? ฉันควรแบ่งทั้งสองด้านของ$\nabla \phi \cdot d \mathbf{r} = d\phi$ โดย $du$เหรอ? ฉันไม่รู้ด้วยซ้ำว่าเป็นการดำเนินการที่ถูกต้องหรือไม่ ในกรณีเฉพาะที่พารามิเตอร์$u$ คือความยาวส่วนโค้ง $s$ ตามเส้นโค้งอนุพันธ์รวมของ $\phi$ ด้วยความเคารพ $s$ ตามเส้นโค้งจะได้รับโดย $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}} $$ ที่ไหน $\hat{\mathbf{t}}$คือหน่วยแทนเจนต์กับเส้นโค้ง ณ จุดที่กำหนด คำถาม 2: แล้วทำไมไม่$\frac{d \phi}{d s} = 0$เหรอ? แน่นอน$\nabla \phi$ ตั้งฉาก / แทนเจนต์กับพื้นผิวของ $\phi$ดังนั้นมันจะตั้งฉากกับ $\hat{\mathbf{t}}$! โดยทั่วไปอัตราการเปลี่ยนแปลงของ$\phi$ เกี่ยวกับระยะทาง $s$ ในทิศทางเฉพาะที่กำหนดโดย $$ \frac{d \phi}{d s}=\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} $$ (คำถามที่ 3: (คำถามที่น่าสนใจที่สุด) ฉันไม่รู้ว่าจะได้รับ / เข้าใจผลลัพธ์ข้างต้นอย่างไร / ทำไมผลลัพธ์ข้างต้นจึงเป็นเช่นนั้นฉันคิดว่า $\nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{a}} = \nabla \phi \cdot \hat{\mathbf{t}}?$)และเรียกว่าอนุพันธ์ทิศทาง ตั้งแต่$\hat{\mathbf{a}}$ คือเวกเตอร์หน่วยที่เรามี $$ \frac{d \phi}{d s}=|\nabla \phi| \cos \theta $$ ที่ไหน $\theta$ คือมุมระหว่าง $\hat{\mathbf{a}}$ และ $\nabla \phi$. อย่างชัดเจน$\nabla \phi$ อยู่ในทิศทางของการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วที่สุด $\phi$ และ $|\nabla \phi|$ เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ของ $d \phi / d s$. คำถามที่ 4: ฉันได้รับค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ$d \phi / d s$ คือเมื่อ $\theta = 0$ซึ่งเป็นทิศทางของ $\nabla \phi$แต่ทำไมใหญ่ที่สุด $\frac{d \phi}{d s}$ บ่งบอกทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุดของ $\phi$เหรอ?
คำตอบ
ฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจสูตรสำหรับอนุพันธ์ทิศทางคือการเข้าใจอนุพันธ์ทั้งหมดซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปที่ "ดีที่สุด" ของอนุพันธ์ในแคลคูลัสตัวแปรเดียว ฟังก์ชั่น$\varphi:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ เรียกว่าแตกต่างอย่างสิ้นเชิงใน $x_0$ หากมีแผนที่เชิงเส้น $L:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ ดังนั้น $f(x)\approx f(x_0)+L(x-x_0)$. คำจำกัดความเฉพาะของ$\approx$ ไม่สำคัญเกินไปในตอนนี้
แผนที่เชิงเส้นนี้ $L$ เรียกว่าความแตกต่าง (ทั้งหมด) ของ $f$ ที่ $x_0$. แนวคิดที่สำคัญส่วนใหญ่ในแคลคูลัสหลายตัวแปรจะรวมกันเป็นผลต่างทั้งหมด จาโคเบียนของฟังก์ชันคือการแสดงเมทริกซ์ของผลต่างทั้งหมด ทรานสโพสของการไล่ระดับสีด้วย และในแคลคูลัสตัวแปรเดียวการแทนค่าเมทริกซ์จะมีเพียงรายการเดียวซึ่งก็คืออนุพันธ์ 1d ตอนนี้สำหรับสัญกรณ์ที่ไม่ชัดเจนเราเขียนผลต่างทั้งหมดของ$f$ ที่ $x_0$ เช่น $\mathrm Df(x_0)$. เราจะต้องใช้สัญกรณ์นี้เพื่อสรุปกฎลูกโซ่: if$f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่แตกต่างกันแล้ว $f\circ g$ ยังมีความแตกต่างและถือได้ว่า
$$\mathrm D(f\circ g)(x)=\mathrm Df(g(x))\mathrm Dg(x).$$
แทนที่ $\mathrm Df=f'$ และ $\mathrm Dg=g'$เพื่อรับกฎลูกโซ่ 1d ตอนนี้สูตรทั้งหมดของคุณเป็นการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่ทั่วไปนี้ อนุพันธ์ทิศทางของ$\varphi$ ตามเส้นทาง $\mathbf r$ คืออนุพันธ์ของ $\varphi\circ\mathbf r$, นั่นคือ
$$\mathrm D(\varphi\circ r)=\mathrm D\varphi(\mathbf r)\mathrm D\mathbf r.$$
ด้วย $\mathrm D\varphi=\nabla\varphi$ และ $\mathrm D\mathbf r=\partial_u\mathbf r$คุณได้รับสูตรทั้งหมดของคุณ เพียงแค่เลือกพารามิเตอร์ที่เหมาะสมของเส้นทาง$r$.
ตอนนี้สำหรับคำถามของคุณ
คำถามที่ 1:คุณได้รับสิ่งนี้โดยกฎลูกโซ่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น
คำถาม 2: $\mathbf t$ แทนเจนต์กับเส้นทาง แต่เส้นทางนั้นสัมพันธ์กับพื้นผิวที่เท่ากันของ $\varphi$ไม่มีการกล่าวถึงที่ไหนเลย มันอาจเป็นแทนเจนต์ซึ่งในกรณีนี้อนุพันธ์ทิศทางจะเป็นจริง$0$. แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น
คำถามที่ 3:คุณเลือกเส้นทาง$\mathbf r(u)=\mathbf x_0+u\mathbf a$และจากนั้น $\partial_u\mathbf r=\mathbf a$. ส่วนที่เหลือคือกฎลูกโซ่ และใช่สำหรับเส้นทางเฉพาะนี้เวกเตอร์แทนเจนต์$\mathbf t$ คือว่า $\mathbf a$.
คำถามที่ 4:นั่นคือสิ่งที่อนุพันธ์ทิศทางคือการวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศทางที่แน่นอน ตามสูตรจะใหญ่ที่สุดในทิศทางของเวกเตอร์การไล่ระดับสีเพราะงั้น$\cos\theta=1$. ดังนั้นเวกเตอร์ไล่ระดับจึงชี้ไปในทิศทางของการเพิ่มขึ้นเร็วที่สุด