ขีด จำกัด ของผลิตภัณฑ์ไซน์

Question

คำถามคือ: $$\lim_{n\rightarrow \infty}\prod_{r=1}^{2n-2}\{\sin\Bigl(\frac{r\pi}{2n}\Bigr)\}^{\frac{1}{n}}$$

ความพยายามของฉัน:

ปล่อย $$A=\prod_{r=1}^{2n-2}\{\sin\Bigl(\frac{r\pi}{2n}\Bigr)\}^{\frac{1}{n}}$$

$$\Rightarrow \log(A)=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^{2n-2}\log(\sin\Bigl(\frac{r\pi}{2n}\Bigr))$$

ฉันกำลังคิดที่จะแปลงสิ่งนี้ให้เป็นอินทิกรัลโดย

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\log(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{r=1}^{2n-2}\log(\sin\Bigl(\frac{r\pi}{2n}\Bigr))\frac{1}{n}$$

การใช้นิยามผลรวมขีด จำกัด ของขีด จำกัด

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{r=1}^{n}f\Bigl(a+\frac{r(b-a)}{n}\Bigr)\frac{b-a}{n}$$

$$\frac{2}{\pi-0}\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{r=1}^{2n-2}\log(\sin\Bigl(0+\frac{r(\pi-0)}{2n}\Bigr))\frac{\pi-0}{2n}=^{?}\int_{0}^{\pi}\log(\sin x)dx$$

ฉันไม่แน่ใจว่าจะแปลงอินทิกรัลนี้อย่างไรเนื่องจากขอบเขตของการสรุปไม่เหมือนกัน

Answer 1

$$L=\lim_{n \to \infty} \prod_{r=1}^{2n-2}\left( \sin \frac{\pi r}{2n}\right)^{1/n}.$$ $$\implies \ln L=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2n-2} \ln \sin\frac{\pi r}{2n}.$$ $let r/n=x$แล้ว $L$ ไปที่อินทิกรัล $$\ln L=\int_{0}^{2} \ln \sin (\pi x/2)~dx= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \ln \sin z dz~~~(*)$$ ใช้คุณสมบัติที่ $$\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a/2}[ f(x)+f(a-x)] dx ~~~(1)$$ $$\ln L=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \ln \sin z dz~~~~(2)$$ ถัดไปใช้คุณสมบัติที่ $$\int_{0}^{a} f(x) dx= \int_{0}^{a} f(a-x) dx$$ ที่จะได้รับ $$\ln L=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \ln \cos z dz ~~~(3)$$ เพิ่ม (2) และ (3) เพื่อให้ได้ $$2 \ln L=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \ln \left(\frac{1}{2} \sin 2z\right) ~dz=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin u~ du-\frac{4}{\pi} \frac{\pi}{2}\ln 2 $$ใช้ (*) ที่นี่ พวกเราเขียน$$\ln L=-2\ln 2 \implies L=\frac{1}{4}$$