กลุ่ม Picard เทียบกับกลุ่มคลาส
คำถาม.
ปล่อย $R$เป็นวงแหวนสับเปลี่ยน ปล่อย$M$ ถั่ว $R$- โมดูลที่มีคุณสมบัติที่มีอยู่ $R$-โมดูล $N$ ดังนั้น $M\otimes_R N\cong R$. มีอยู่เสมอในอุดมคติหรือไม่$I$ ของ $R$ ดังนั้น $M$ isomorphic ถึง $I$ เป็น $R$-โมดูล? (ฉันสงสัยว่าจะไม่อยู่ในลักษณะทั่วไปนี้)
พื้นหลัง.
ปล่อย $R$เป็นวงแหวนสับเปลี่ยน นี่คือสองกลุ่มที่สามารถเชื่อมโยงได้$R$.
- "กลุ่มชั้นเรียน"
กลุ่มแรกคือ "แรงบันดาลใจจากทฤษฎีจำนวน" หนึ่งใช้อุดมคติของ$R$และสังเกตว่าพวกมันมีการคูณตามธรรมชาติที่กำหนดไว้ หนึ่งกำหนดสองอุดมคติ$I$ และ $J$จะเทียบเท่าหากมีสารที่ไม่ใช่ตัวดูดซับ$s$ และ $t$ ดังนั้น $sI=tJ$. ความสัมพันธ์นี้เล่นได้ดีกับการคูณทำให้เรามีการคูณในชั้นเรียนการเทียบเท่า (เว้นแต่ฉันจะทำผิดการอ้างอิงของฉันคือ "ด้านหลังของการคำนวณซองจดหมาย") สิ่งนี้ทำให้คลาสความเท่าเทียมกันเป็นโมโนนอยด์แบบสับเปลี่ยนและสามารถกำหนดกลุ่มคลาสของ$R$ เป็นหน่วยของ monoid นี้คือองค์ประกอบที่มีผกผัน
หมายเหตุ: เราสามารถใช้อุดมคติแบบเศษส่วนแทนได้ ทฤษฎีอุดมคติของเศษส่วนมักจะถูกตั้งขึ้นสำหรับโดเมนอินทิกรัลเท่านั้นและถ้าฉันทำผิดไปข้างบนฉันอาจจะ จำกัด เฉพาะโดเมนอินทิกรัล อุดมคติแบบเศษส่วนถูกกำหนดให้เป็นอุดมคติเชิงบูรณาการกับตัวส่วนดังนั้นฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้จะเปลี่ยนแปลงกลุ่มที่กำหนดไว้ที่นี่
- กลุ่ม Picard
กลุ่มที่สองคือ "แรงบันดาลใจจากรูปทรงเรขาคณิต" ซึ่งเป็นกลุ่ม Picard ของ $\operatorname{Spec}(R)$. ยิ่งไปกว่านั้นให้ใช้คอลเลกชัน (ไม่ใช่ชุด) ของคลาส isomorphism ของ$R$- โมดูล $M$. สิ่งนี้มีการคูณที่มาจากผลคูณของเทนเซอร์และตรงตามสัจพจน์ของโมโนนอยด์ยกเว้นว่ามันไม่ใช่เซต อย่างไรก็ตามหน่วยของ monoid นี้เป็นชุดเนื่องจากอีกด้านหนึ่งของการคำนวณซองจดหมายดูเหมือนจะระบุว่าถ้า$M\otimes_R N\cong R$ และเราเขียน $1=\sum_i m_i\otimes n_i$ผลรวม จำกัด ตามด้วย $m_i$ สร้าง $M$ เป็น $R$- โมดูลทำให้เราสามารถควบคุมขนาดของหน่วย monoid ได้ - พวกมันทั้งหมดคือ isomorphic เป็นผลหารของ $R^n$ดังนั้นเราจึงได้รับการควบคุมอีกครั้งในความหมายของเซต - ทฤษฎี หน่วยของ monoid เป็นกลุ่มที่สอง
คำถามมาจากฉันพยายามโน้มน้าวตัวเองว่ากลุ่มคนเหล่านี้ไม่เท่าเทียมกันโดยทั่วไป (เพราะฉันไม่ได้คาดหวังว่าพวกเขาจะเท่าเทียมกันโดยทั่วไป) ถ้า$R$ เป็นโดเมน Dedekind (ดังนั้น $\operatorname{Spec}(R)$ คือเส้นโค้ง Affine ที่เรียบ) จากนั้นเราได้นิยามคลาสสิกและนิยามแฟนซีของกลุ่มคลาสของ $R$และคำตอบสำหรับคำถามคือ "ใช่" เนื่องจากทุกอันดับ 1 โปรเจ็กต์$R$- โมดูลเป็นไอโซมอร์ฟิกในอุดมคติของ $R$; ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องโดยทั่วไปแล้วทุกอันดับ$n+1$ โปรเจกต์ $R$- โมดูลคือ isomorphic ถึง $I\oplus R^n$ สำหรับอุดมคติบางอย่าง $I$ (อย่างน้อยก็เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มของฟิลด์ตัวเลข) ซึ่งช่วยให้คุณสามารถคำนวณอัลเกราอิกที่เป็นศูนย์ได้ $K$- กลุ่ม (กลุ่ม Grothendieck) ของ $R$. แต่โดยทั่วไปแล้วฉันไม่แน่ใจว่าเกิดอะไรขึ้น
ในหน้าวิกิพีเดียตัวหารฉันอ่าน "ทุกกลุ่มบรรทัด$L$ บน $X$ ในรูปแบบหนึ่งของ Noetherian คือคลาสของตัวหารคาร์เทียร์บางตัว "ซึ่งทำให้ฉันคิดว่าผลลัพธ์อาจเป็นจริงสำหรับโดเมนอินทิกรัลของ Noetherian แต่ฉันไม่เห็นการพิสูจน์แม้แต่ตรงนั้น (อาจเป็นมาตรฐาน) วิธีที่วลีนี้ทำให้ฉัน สงสัยไหมว่ามีตัวอย่างการตอบโต้ที่ไม่ใช่ชาว Noetherian หรือไม่
คำตอบ
นี่คือความพยายามที่จะสรุปข้อพิสูจน์ที่กล่าวถึงข้างต้นจาก Hartshorne
อ้างสิทธิ์:ให้$R$ เป็นแหวนที่มีเศษส่วนรวม $R_{\mathrm{tot}}=S_{\mathrm{nzd}}^{-1}R$เป็น Artinian จากนั้นกลับด้านใด ๆ$R$- โมดูลเป็นไอโซมอร์ฟิกในอุดมคติแบบพลิกกลับได้
(สมมติฐานมีอย่างน้อยในสองกรณี "ธรรมชาติ" ต่อไปนี้:
- $R$ เป็นโดเมนซึ่งสอดคล้องกับกรณีของโครงร่างหนึ่ง
- $R$ เป็นแหวน Noetherian ที่ไม่มีส่วนประกอบฝังตัวเช่น $\mathrm{Ass}\,R$ เป็นชุดของช่วงเวลาที่น้อยที่สุดซึ่งในกรณีนี้คือสเปกตรัมของ $R_{\mathrm{tot}}$ ประกอบด้วยช่วงเวลาที่น้อยที่สุดเหล่านี้อย่างแม่นยำด้วยเหตุนี้ $0$- มิติ)
หลักฐาน:หนึ่งดำเนินการเช่นเดียวกับในการพิสูจน์จาก Hartshorne ให้โมดูลกลับหัว$M$นี่คือโมดูลที่ไม่มีค่าคงที่ในท้องถิ่น $1$และก็คือ $R_{\mathrm{tot}}$-โมดูล $M \otimes_R R_{\mathrm{tot}}$. เช่น$R_{\mathrm{tot}}$ เป็น Artinian ซึ่งเป็นโมดูลอันดับที่ไม่เสียค่าใช้จ่ายใด ๆ ในท้องถิ่น $1$ เป็นโมดูลอันดับฟรี $1$และด้วยเหตุนี้เราจึงมี $$M=M\otimes_R R\hookrightarrow M\otimes_R R_{\mathrm{tot}}\simeq R_{\mathrm{tot}}.$$ สิ่งนี้ตระหนักดี $M$ เป็น $R$- โมดูลย่อย $M'$ ของ $R_{\mathrm{tot}}$. มันถูกสร้างขึ้นอย่างประณีต (เพราะ$M$ คือ) ให้เราเรียกเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเหล่านี้ $a_1/s_1, \dots, a_n/s_n \in R_{\mathrm{tot}}.$ แต่แล้ว $s=s_1s_2 \dots s_n$ เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $R$และเรามี $sM' \subseteq R$. ด้วยประการฉะนี้$M$ isomorphic ในอุดมคติแบบคว่ำ $I:=sM'$. $\square$
(ฉันเดาว่าสมมติฐานสามารถผ่อนคลายได้อีกเล็กน้อยโดยการตั้งสมมติฐานนั้น $R_{\mathrm{tot}}$เป็นเพียงผลิตภัณฑ์โดยตรงที่ จำกัด ของแหวนในท้องถิ่น ( แก้ไข: ที่จริงแล้วยิ่งไปกว่านั้นโดยการสมมติว่า$\mathrm{Pic}(R_{\mathrm{tot}})=1$). แต่ฉันไม่รู้จักกรณี "ธรรมชาติ" ใหม่ ๆ ที่จะมีให้)
ฉันจะถือว่า $R$ถูกปิดในช่องเศษส่วน ปล่อย$A$ เป็นเซมิโลคัลไลเซชันของ $R$ ในอุดมคติสูงสุดที่ $R$ไม่ใช่แฟกทอเรียล (นั่นคือ,$A=S^{-1}R$ ที่ไหน $S$ เป็นส่วนเติมเต็มของการรวมกันของอุดมคติสูงสุดเหล่านั้นทั้งหมด) จากนั้น $Pic(R)$ นั่งอยู่ข้างใน $Cl(R)$ และในความเป็นจริงเป็นเคอร์เนลของแผนที่ $Cl(R)\rightarrow Cl(A)$.
มันต้องอยู่ในกระดาษ Fossum ที่ไหนสักแห่งแม้ว่าฉันจะไม่มีเอกสารอ้างอิงอยู่ในมือก็ตาม