Log-transform ของฟังก์ชันความเป็นไปได้

Question

ฉันมีฟังก์ชันความเป็นไปได้ $$ L(\theta;\mathbf x) = \frac{\prod x_i^{\nu-1} \exp\left( -\sum x_i/\theta \right) }{\theta^{\nu n} [\Gamma(\nu)] } \qquad x>0 $$

มันได้รับการแปลงเป็นสูตรต่อไปนี้ $$ \ln L(\theta;\mathbf x) = \text{constant} - \frac{n\overline x} \theta - \nu\theta\ln\theta $$

สองคำถาม:

1. ฉันได้รับผลลัพธ์เดียวกันเมื่อฉันทำการเปลี่ยนแปลงด้วยตัวเองยกเว้นนอกเหนือจากผลลัพธ์ข้างต้นฉันได้รับเทอมพิเศษ $n\bar{x}(\nu-1)$ - ทำไมถึงไม่ควรอยู่ที่นั่น?

1. นอกจากนี้ฉันยังได้รับ ${}-\text{const}$ ค่อนข้างมากกว่า ${}+\text{const}$แต่ฉันคิดว่าเพราะมันเป็นค่าคงที่โดยพลการแล้วอย่างใดอย่างหนึ่ง $+$ หรือ $-$ ได้ผล?

Answer 1

ในบริบทนี้ "ค่าคงที่" หมายถึงไม่ขึ้นอยู่กับ $\theta.$ คำศัพท์ทั้งหมดที่ไม่ขึ้นอยู่กับ $\theta$คงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งต่อไปที่ทำหลังจากลอการิทึมคือการสร้างความแตกต่างในแง่มุม$\theta,$ แล้วทุกเทอมไม่ขึ้นอยู่กับ $\theta$ หายไป