“ มากมายเท่า…”?

Question

ประโยคต่อไปนี้มาจากหนังสือเรียนคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องของฉัน:

แต่ละจำนวนจริงมีเช่นเดียวกับในหลายสาย nitelyแสดงเป็นอัตราส่วน

ถูกต้องหรือไม่ มีหลายองศามากมายหรือฉันเข้าใจผิด?

Answer 1

เป็นวลีที่ไม่ถูกต้อง สิ่งที่ถูกต้องคือ:

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนมีการแทนค่าที่แตกต่างกันอย่างไม่สิ้นสุดเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม

อย่างน้อยในภาษาอังกฤษแบบอเมริกันฉันไม่คิดว่ามันจะแสดงออกอย่างชัดเจนที่สุด ความหมายก็คือ

จำนวนตรรกยะแต่ละตัวสามารถแทนค่าได้ด้วยเศษส่วนจำนวนอนันต์ที่มีจำนวนเต็มในตัวเศษและตัวส่วน

นักคณิตศาสตร์อาจพูดอย่างนั้น

จำนวนตรรกยะอาจมีการแทนค่าได้หลายค่า แต่สามารถแสดงได้โดยไม่ซ้ำกันในคำที่ต่ำที่สุดเช่น p / q โดยที่ q เป็นจำนวนเต็มบวก p คือจำนวนเต็มและ p และ q ไม่มีปัจจัยเฉพาะร่วมกัน

แนวคิดก็คือ 1/3, 18/54, -12 / (- 4) คือสามในจำนวนการแสดงจำนวนนับไม่ถ้วนของจำนวนเดียวกันที่สามารถแสดงได้ง่ายที่สุดเป็น 1/3

Answer 2

"จำนวนตรรกยะแต่ละตัวมีการแทนค่าเท่ากับอัตราส่วนเท่า ๆ กัน" มีระดับของ 'มากมายเหลือหลาย ' อย่างที่Georg Cantor (1845-1918) 'บิดาแห่งทฤษฎีเซต' ได้แสดงให้เห็น ชุดของตัวเลขมีคาร์ดินาลลิตี้นั่นคือตัวเลขซึ่งเป็นจำนวนขององค์ประกอบ (สมาชิก) สิ่งนี้ใช้กับชุดตัวเลขที่มีสมาชิก 'infinite' แม้ว่าเราจะไม่สามารถนับได้ก็ตาม คาร์ดินาลลิตี้ของเซตของจำนวนเต็ม (ซึ่งมีจำนวนไม่ จำกัด ) จะเหมือนกับเซตของจำนวนตรรกยะซึ่งในทฤษฎีเซตของต้นเสียงเรียกว่าℵ0 ( aleph zeroหรือaleph null ) ต้นเสียงแสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนจริงซึ่งมีจำนวนสมาชิก 'ไม่สิ้นสุด' มีจำนวนสมาชิกที่สูงกว่า (มีจำนวนมากกว่านี้) (ฉันจะไม่แสดงให้เห็นว่าเขาทำอย่างไรที่นี่) ซึ่งเรียกว่าℵ1 ( aleph หนึ่ง ). อักขระℵนี้คือ Aleph ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของอักษรฮีบรู

Cardinality (ชุดไม่มีที่สิ้นสุด)