$\mathbb R$ ด้วยโทโพโลยีที่สร้างโดย $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ คือ pseudocompact
ฉันกำลังพยายามแก้ไขคำถามต่อไปนี้จากชุดปัญหาการเตรียม UChicago GRE :
เอ็นโดว์ $\mathbb R$ ด้วยโทโพโลยีที่ถูกต้องสร้างโดย $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ และเรียกพื้นที่นี้ $X$. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ
(... )
(จ) $X$ คือ pseudocompact (ทุกฟังก์ชั่นต่อเนื่อง $f: X \to \mathbb R$ มีขอบเขต)
ต่อคีย์คำตอบ (E) ไม่เป็นเท็จ ฉันไม่เคยได้ยินคำว่า pseudocompactness มาก่อน แต่ฉันพยายามหาสิ่งต่าง ๆ จากคำจำกัดความ ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องโทโพโลยี$\mathcal O_\tau$ สร้างขึ้นโดยพื้นฐาน $\tau$ คือ $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันต่อเนื่องคือภาพพรี - ภาพของทุกชุดที่เปิดอยู่จะเปิดอยู่ ใช้แค่นี้เราจะแสดงอย่างไร$f: X \to \mathbb R$ มีขอบเขต?
คำตอบ
คำแนะนำ :$X$มีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งยิ่งขึ้น: ทุกฟังก์ชันที่มีมูลค่าจริงอย่างต่อเนื่อง (ในความเป็นจริงทุกฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าในพื้นที่ Hausdorff) จะคงที่ สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามีทุกสองชุดย่อยที่เปิดอยู่ที่ไม่ว่างเปล่าของ$X$ ตัด.
สมมติ $f:X \to \Bbb R$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องและสมมติว่า $f$ไม่คงที่ ซึ่งหมายความว่ามี$x_1 \neq x_2 \in X$ ด้วย $f(x_1) \neq f(x_2)$. สมมติว่า (WLOG) นั้น$f(x_1) < f(x_2)$ แล้วหา $c\in \Bbb R$ ด้วย $f(x_1) < c < f(x_2)$. แล้ว$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ เปิดอยู่และ $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ เปิดอยู่เช่นกัน (ทั้งสองโดยความต่อเนื่องของ $f$) และ $O_1$ และ $O_2$ จึงไม่ว่างเปล่าเปิดและไม่ปะติดปะต่อ $X$. อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เคยเกิดขึ้นในชุดดังกล่าว$X$ ตามความหมายมักจะอยู่ในรูปแบบ $(a, +\infty)$ และสองจุดตัดเหล่านี้ (จุดใด ๆ ที่ใหญ่กว่าจุดสูงสุดของจุดขอบเขตจะอยู่ในจุดตัด)
ดังนั้นมูลค่าที่แท้จริงอย่างต่อเนื่อง $f$ บน $X$ เป็นค่าคงที่ (มีขอบเขตอย่างแน่นอน) ดังนั้น $X$ คือ pseudocompact