Multiplicity of Complex Conjugates of Repeat Complex Eigenvalues

Question

ฉันรู้ว่าสำหรับเมทริกซ์ที่มีมูลค่าจริงค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนจะอยู่ในคู่คอนจูเกตที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นสำหรับค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนซ้ำ ๆ (เช่นค่าลักษณะเฉพาะเชิงซ้อนที่มีค่าหลายหลากมากกว่า 1) ในกรณีนั้นคอนจูเกตเชิงซ้อนของค่าลักษณะเฉพาะเชิงซ้อนที่ทำซ้ำมีความทวีคูณเช่นเดียวกับค่าลักษณะเฉพาะนั้นหรือไม่ ถ้าคำพูดนั้นถือเราจะแสดงให้เห็นได้อย่างไรว่ามันเป็นความจริง?

Answer 1

เราพบว่าถ้าเป็นเมทริกซ์จริง $A$ มีค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อน $\lambda$จากนั้นจึงผันค่าลักษณะเฉพาะ $\bar \lambda$มีพีชคณิตและเรขาคณิตหลายหลากเหมือนกัน อันที่จริงเราสามารถพูดได้อีกเล็กน้อย:$$ (A - \lambda I)|_{\ker(A - \lambda I)} = (A - \bar \lambda I)|_{\ker(A - \bar \lambda I)}, $$ซึ่งกล่าวได้ว่าโครงสร้างทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะนั้นเหมือนกัน นั่นคือรูปแบบจอร์แดนของ$A$ มีจำนวนและขนาดของบล็อกเดียวกันสำหรับ $\lambda$ และ $\bar \lambda$.

เท่าที่พิสูจน์ความหลายหลากไปเรามีสิ่งต่อไปนี้: การคูณพีชคณิตคือความหลายหลากของราก $\lambda$ ในพหุนามลักษณะเฉพาะ $p(x) = \det(xI - A)$. ตามที่เป็นจริงสำหรับพหุนามใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์จริงความทวีคูณของราก$\lambda$ นี่ก็เหมือนกับการคูณของราก $\bar \lambda$.

สำหรับการทวีคูณทางเรขาคณิตแนวทางหนึ่งมีดังนี้เราสังเกตว่าเมทริกซ์ตอบสนอง $\overline{A B} = \bar A \bar B$. เป็นไปตามนั้นถ้า$v$ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (ซับซ้อน) ที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$แล้วเราก็มี $$ Av = \lambda v \implies \overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar v = \bar \lambda \bar v. $$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแผนที่ $v \mapsto \bar v$ เป็นแบบกลับหัว $\Bbb R$- แผนที่เชิงเส้นระหว่างพื้นที่ต่าง ๆ ของ $A$ ที่เกี่ยวข้องกับ $\lambda$ และ $\bar \lambda$. ตามมาว่าช่องว่างเหล่านี้มีมิติเดียวกัน