Phase Kickback and Controlled Rotation - Problem in proving symmetry

Question

I am reading through the Phase Kickback chapter of the IBM online textbook about quantum computation. It is stated that, when applying any controlled Z-rotation, the concept of test and control qubit is lost. To show this phenomenon, the effect of a Controlled-T gate (Z-rotation of $\pi/4$) on the state $|1+ \rangle$ is demonstrated mathematically. The formal control qubit would be $|+\rangle$ while the target qubit would be $|1\rangle$. As I show in the image, the "target" qubit stays unchanged, while the "control" qubit has got rotated (it has now a relative phase).

I then wanted to prove myself that the same result would be delivered when applying the Controlled-T gate on the state $|+1 \rangle$ซึ่งจะหมายถึงการสลับทั้งสอง qubits ตามสถานการณ์ในอดีต จากนั้นฉันก็คาดหวังผลลัพธ์เช่นเดียวกับด้านบน แต่ด้วย qubits สองตัว "พลิก" ที่ด้านตรงข้ามของผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ อย่างไรก็ตามในกรณีนี้ฉันได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างออกไป (ระยะทั่วโลก) ฉันคิดว่าฉันไม่สามารถเปลี่ยนผลิตภัณฑ์เทนเซอร์ได้เพราะนี่จะหมายถึงการแลกเปลี่ยนสอง qubits จริงไหม? ใครช่วยอธิบายให้ฉันเข้าใจถึงความผิดพลาดทางแนวคิดที่ฉันกำลังทำอยู่

Answer 1

เมื่อเราใช้เฟสเกตจะมีการเพิ่มเฟสสัมพัทธ์ (นี่คือคำจำกัดความที่ฉันจะใช้ในคำตอบนี้สำหรับประตูเฟส) ในหนังสือเรียนของ Qiskit (และในหนังสือเรียนโดย M.Nielsen และ I. Chuang)$T$ ถูกกำหนดให้เป็นประตูเฟส $P(\frac{\pi}{4})$:

$$ P |\psi \rangle = P (\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) = \alpha |0\rangle + e^{i\varphi}\beta |1\rangle \\ P(\varphi) = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&e^{i \phi} \end{pmatrix} \qquad T = P(\frac{\pi}{4}) = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix} $$

ที่ไหน $P$ คือประตูเฟส $\alpha$ และ $\beta$ คือแอมพลิจูดเริ่มต้นบางส่วน $\varphi$ คือเฟสที่กำหนดโดย $P$ประตู. โปรดทราบว่าเท่านั้น$|1\rangle$ในสถานะการซ้อนทับได้รับเฟส การทำงานเช่นเดียวกันสำหรับประตูเฟสที่ควบคุม: เท่านั้น$|11\rangle$ ได้รับเฟสเนื่องจาก qubit ควบคุมควรเป็น $|1\rangle$ และ qubit เป้าหมายก็ควรเป็นเช่นกัน $|1\rangle$:

$$CP_{2 \rightarrow 1} |+1 \rangle = CP_{2 \rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle + |11\rangle) = \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle + e^{i \varphi}|11\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + e^{i \varphi}|1\rangle) \otimes |1\rangle$$

ที่ไหน $CP$ คือประตูเฟสควบคุม $2 \rightarrow 1$ ตัวห้อยหมายถึง $CP$ประตูถูกควบคุมโดย qubit ที่สอง หลักฐานทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับ$CP_{1 \rightarrow 2} = CP_{2 \rightarrow 1}$ สามารถได้มาโดยใช้การแสดงเมทริกซ์ของ $CP$ประตู. การพิสูจน์นี้คล้ายกับการพิสูจน์สำหรับ$CZ_{1 \rightarrow 2} = CZ_{2 \rightarrow 1}$ที่สามารถพบได้ในคำตอบนี้

$$CP_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| \otimes I + |1\rangle \langle 1| \otimes P = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&e^{i \varphi} \\ \end{pmatrix} = \\ =I \otimes |0\rangle \langle 0| + P \otimes |1\rangle \langle 1| = CP_{2 \rightarrow 1}$$

---

หมายเหตุด้านข้างเกี่ยวกับสาเหตุที่ "สมมาตร" ไม่เป็นจริงสำหรับการควบคุม $R_z$ ประตูตรงกันข้ามกับการควบคุม $P$ ประตู:

ถ้าสำหรับกรณีทั่วไปแทนที่จะเป็น $P(\varphi)$ เราจะใช้ $R_z(\varphi)$ ประตูเราจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน:

$$CRZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| \otimes I + |1\rangle \langle 1| \otimes R_z = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&e^{-i \frac{\varphi}{2}}&0 \\ 0&0&0&e^{i \frac{\varphi}{2}} \\ \end{pmatrix}\\ CRZ_{2 \rightarrow 1} = I \otimes |0\rangle \langle 0| + R_z \otimes |1\rangle \langle 1| = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&e^{-i \frac{\varphi}{2}}&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&e^{i \frac{\varphi}{2}} \\ \end{pmatrix}$$

ที่ไหน $R_z(\varphi) = \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\varphi}{2}}&0 \\ 0&e^{i \frac{\varphi}{2}} \end{pmatrix}$. ดังนั้น$CRZ_{1 \rightarrow 2} \ne CRZ_{2 \rightarrow 1}$. นี้คำตอบอาจจะมีความเกี่ยวข้องที่แตกต่างระหว่างรุ่นควบคุมของ$R_z$ และ $U1 = P$ มีการกล่าวถึง