พิสูจน์: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

ตอนนี้ฉันกำลังทำตามสูตร

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

ซึ่งเป็นหลักสูตรที่ล้อมรอบรูปแบบของไฮเซนเบิร์กหลักความไม่แน่นอน แต่ฉันยังได้รับสูตรนี้

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

ฉันคิดว่านี่เป็นส่วนเสริมของหลักการของ Heisenberg แต่ฉันไม่ได้รับข้อความดังกล่าวในหนังสือ นอกจากนี้ฉันคิดว่ามันอาจจะมาจากสมมติฐานของ de Broglieและอาจเป็นแคลคูลัส แต่ก็เป็นเพียงการคาดเดา ดังนั้นด้วยเหตุผลเหล่านี้ฉันกำลังต้องการคำตอบจากคุณและนอกจากนั้นก็จะเป็นปลีกย่อยที่จะมีบางคนตีความทางกายภาพของสูตรนี้เหมือนเรามีหลักการของไฮเซนเบิร์ก

Answer 1

เริ่มต้นจากหลักการความไม่แน่นอนทั่วไปสำหรับตัวดำเนินการสองตัว$\Omega$ และ $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ ที่ไหน $|\psi\rangle$ เป็นรัฐโดยพลการและ $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, คอมมิวเตเตอร์ เรารู้จาก De Broglie ว่า$\lambda=\frac{h}{p}$; จากนี้เราคำนวณวงเล็บ Possion ของ$x$ และ $\lambda$ เช่น $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ ตอนนี้กฎที่เป็นที่นิยมของ Dirac สำหรับการหาปริมาณ (ใช้ได้ในหลาย ๆ กรณี) คือการพูดอย่างนั้น $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ ดังนั้นเราจึงมี $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. การเสียบสิ่งนี้เข้ากับหลักการความไม่แน่นอนทั่วไปดั้งเดิม$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ และด้วยเหตุนี้ $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ ตอนนี้จากนิยามของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรารู้แล้ว $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$ดังนั้นเราจึงมี $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าแน่นอนในเชิงบวก ดังนั้นแสดงถึงค่าความคาดหวังของ$\Lambda$ เช่น $\lambda$ในที่สุดเราก็มี $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$หลักการความไม่แน่นอนนี้แตกต่างจากโมเมนตัมตำแหน่งปกติ แทนที่จะให้ผลคูณของความไม่แน่นอนมีค่ามากกว่าค่าคงที่เสมอผลคูณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตำแหน่งและความยาวคลื่นจะมากกว่าหรือเท่ากับค่าเฉลี่ยของความยาวคลื่นหารด้วย$4\pi$. ดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนของตำแหน่งและความยาวคลื่นกับค่าเฉลี่ยของความยาวคลื่น