พิสูจน์การมีอยู่ของรากที่ n สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ
ฉันต้องการพิสูจน์ผลลัพธ์ดังนี้ "ยอม $x,y \geq 0$ เป็นจริงที่ไม่เป็นลบและปล่อยให้ $n,m \geq 1$เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า$y = x^{\frac{1}{n}}$แล้ว $y^{n} = x$. "นี่คือ lemma 5.6.6 (a) จากหนังสือ Analysis 1 โดย Terence Tao
รากที่ n ถูกกำหนดดังนี้ $x^{\frac{1}{n}}:=$จีบ$\{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ และ $y^{n}\leq x\}$.
ก่อนหน้านี้มีการพิสูจน์อักษรย่อต่อไปนี้แล้ว "$\textbf{Lemma 5.6.5:}$ "ปล่อย $x\geq 0$ เป็นความจริงที่ไม่ใช่เชิงลบและปล่อยให้ $n\geq 1$เป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นชุด$E:= \{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ และ $y^{n}\leq x\}$ไม่ว่างเปล่าและมีขอบเขตด้านบนด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$x^{\frac{1}{n}}$ เป็นจำนวนจริง "
เมื่อพิจารณาจาก lemma 5.6.5 สิ่งที่เราต้องแสดงก็คือ $y^{n}<x$ และ $y^{n}>x$นำไปสู่ความขัดแย้ง ตัวอย่างเช่นในกรณีที่$n=2$ และ $y^{2}<x$ เราสามารถค้นหาไฟล์ $\varepsilon>0$ ดังนั้น $(y+\varepsilon)\in E$ เพียงแค่ขยาย $(y+\varepsilon)^{2}$ และการเลือก $\varepsilon$ อย่างเหมาะสมขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า $y = sup E$.
ฉันคุ้นเคยกับวิธีพิสูจน์ผลลัพธ์โดยใช้ตัวตน $b^{n} - a^{n} = (b-a)(b^{n-1} + b^{n-2}a + ... +a^{n-1})$ซึ่งใช้เป็นตัวอย่างในหนังสือการวิเคราะห์จริงของ Rudin หรือทฤษฎีบททวินาม อย่างไรก็ตามฉันกำลังพยายามพิสูจน์ผลลัพธ์โดยใช้เพียงคำแนะนำบางอย่างที่ให้ไว้ในหนังสือเรียน คำแนะนำมีดังนี้:
1) ตรวจสอบหลักฐานว่า $\sqrt2$เป็นจำนวนจริง (หลักฐานเป็นไปตามโครงร่างด้านบน) 2) พิสูจน์โดยความขัดแย้ง 3) Trichotomy ของคำสั่ง 4) ข้อเสนอ 5.4.12
$\textbf{Proposition 5.4.12:}$ "ปล่อย $x$เป็นจำนวนจริงบวก จากนั้นมีจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก$q$ ดังนั้น $q\leq x$และมีจำนวนเต็มบวกอยู่ $N$ ดังนั้น $x\leq N$.”
ฉันได้พยายามพิสูจน์ผลลัพธ์โดยใช้เพียงสี่คำใบ้ที่ให้ไว้ข้างต้น แต่ฉันไม่สามารถไปได้ทุกที่ คำใบ้ทั้งสี่นี้มีให้สำหรับคำศัพท์ทั้งหมดซึ่งประกอบด้วยมากกว่าข้อความข้างต้นดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าคำใบ้ทั้งหมดมีไว้เพื่อใช้สำหรับข้อความนี้โดยเฉพาะ ก่อนหน้านี้คุณสมบัติของการยกกำลังได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับจำนวนจริงและเลขชี้กำลังจำนวนเต็มดังนั้นจึงสามารถใช้ในการพิสูจน์ได้
มีคำถามที่คล้ายกันที่นี่Help with a lemma of the n root (ไม่มีสูตรทวินาม)แต่คำถามของฉันไม่ได้รับคำตอบที่นั่น (ไม่มีคำตอบในโพสต์อื่น ๆ ที่คล้ายกันที่ฉันเคยอ่าน)
ความพยายามของฉันมีศูนย์กลางอยู่ที่แนวคิดต่อไปนี้: สมมติ $y^{n} < x$. แล้ว$x-y^{n}>0$ซึ่งแสดงถึงการมีอยู่ของ $q\in \mathbb{Q}^{+}$ ดังนั้น $q\leq x -y^{n}$. เรายังสามารถสรุปได้ว่า$0<q<1$ ที่จะได้รับ $q^{n}\leq x-y^{n}$แม้ว่าจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าสิ่งนี้ช่วยได้ ถ้าเราสมมติว่า$(y+\varepsilon)^{n} \geq q^{n} + y^{n}$ เพื่อทุกสิ่ง $\varepsilon>0$จากนั้นเราจะได้ความขัดแย้งโดยการ จำกัด เป็น $\varepsilon$มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตามขีด จำกัด จะไม่ได้รับการพัฒนาจนกว่าจะถึงบทถัดไป แต่ฉันพยายามค้นหา$\varepsilon$ โดยตรงโดยเฉพาะอย่างยิ่งการพยายามใช้คำใบ้หมายเลขสี่โดยไม่มีโชค (ฉันคิดว่าการรวมการทดลองที่ยุ่งเหยิงทั้งหมดที่นี่จะทำให้ไม่สามารถอ่านโพสต์ที่มีความยาวอยู่แล้วได้)
ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก. ขอแก้ตัวที่โพสต์ยาว ขอบคุณมากสำหรับผู้ที่สละเวลาอ่านโพสต์นี้
$\textbf{Edit:}$ฉันโพสต์ความพยายามของฉันในการแก้ปัญหาด้านล่าง ฉันยังตระหนักดีว่าฉันไม่จำเป็นต้องใช้ประพจน์ 5.4.12 เพื่อหาเหตุผล$q$. ตัวอย่างเช่นฉันสามารถทำงานกับจำนวนจริงได้$x-y^{n}$ ($y^{n]-x$) โดยตรง
คำตอบ
นี่คือความพยายามของฉันโดยไม่ใช้ combinatorials เคล็ดลับคือการแทนที่$(y + \varepsilon)^n$ และ $(y - \varepsilon)^n$ ด้วย $y^n + \delta$ และ $y^n - \delta$ ตามลำดับ
ปล่อย $E = \{z \in \mathbb{R} : (z \geq 0) \land (z^n \leq x)\}$. ดังนั้น$y = x^{1 / n} = \sup(E)$. สมมติว่าเพื่อความขัดแย้งที่$y^n \neq x$. จากนั้นตามข้อเสนอ 5.4.7 หนึ่งในข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:
(ผม) $y^n < x$. ตอนนี้เราต้องการแสดงให้เห็นว่า$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y + \varepsilon)^n < x$. เพราะ$y < y + \varepsilon$ดังนั้นเราจึงมี $y^n < (y + \varepsilon)^n$. ปล่อย$\delta = (y + \varepsilon)^n - y^n$แล้ว $\delta > 0$. โดย Corollary 5.4.13 เราสามารถค้นหาไฟล์$N \in \mathbb{N}$ และ $N > 0$ ดังนั้น $\delta < 1 \times N$. ตามข้อเสนอ 5.4.14$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ ดังนั้น $\delta < q < N$, ซึ่งหมายความว่า $\delta / q < 1$และเรามี $$ \begin{align*} (y + \varepsilon)^n &= y^n + \delta \\ &= y^n + q \delta / q & (q \neq 0) \\ &< y^n + q. & (\delta / q < 1) \end{align*} $$ ซึ่งหมายความว่าถ้าเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ และ $q > 0$ ดังนั้น $y^n + q < x$จากนั้นเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y + \varepsilon)^n < x$. เราสามารถแสดงได้$q$ มีอยู่เพราะตามข้อเสนอ 5.4.14 $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ และ $0 < q < x - y^n$. ดังนั้นเราต้องมี$\varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y + \varepsilon)^n < x$. แต่นี่หมายความว่า$y + \varepsilon \in E$ และ $y + \varepsilon \leq y$ความขัดแย้ง
(II) $y^n > x$. ตอนนี้เราต้องการแสดงให้เห็นว่า$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y - \varepsilon)^n > x$. เพราะ$y > y - \varepsilon$ดังนั้นเราจึงมี $y^n > (y - \varepsilon)^n$. ปล่อย$\delta = y^n - (y - \varepsilon)^n$แล้ว $\delta > 0$. โดย Proposition 5.4.13 เราสามารถค้นหาไฟล์$q \in \mathbb{Q}$ และ $q > 0$ ดังนั้น $q < 2q \leq \delta$. แล้วเรามี$\delta / q > 1$ และ $$ \begin{align*} (y - \varepsilon)^n &= y^n - \delta \\ &= y^n - q \delta / q & (q \neq 0) \\ &> y^n - q. & (\delta / q > 1) \end{align*} $$ ซึ่งหมายความว่าถ้าเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ และ $q > 0$ ดังนั้น $y^n - q > x$จากนั้นเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y - \varepsilon)^n > x$. เราสามารถแสดงให้เห็นว่า (q) มีอยู่เพราะโดย Proposition 5.4.14$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ และ $0 < q < y^n - x$. ดังนั้นเราต้องมี$\varepsilon \in \mathbb{R}$ และ $\varepsilon > 0$ ดังนั้น $(y - \varepsilon)^n > x$. แต่นี่หมายความว่า$y - \varepsilon$ เป็นขอบเขตบนของ $E$ และ $y - \varepsilon < y = \sup(E)$ความขัดแย้ง
จากทุกกรณีข้างต้นเรามีความขัดแย้งดังนั้น $y = x^{1 / n} \implies y^n = x$.
นี่คือความพยายามของฉันในการแก้ปัญหา โปรดทราบว่าสำหรับกรณีนี้$y^{n} > x$ ฉันหวังว่าเราจะสามารถใช้ผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วในการเหนี่ยวนำครั้งแรกโดยการตั้งค่า $y=k+\varepsilon$แต่จนถึงตอนนี้ฉันยังไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีคู่ $(k,\varepsilon)$ ดังนั้น $y=k+\varepsilon$ และ $(k+\varepsilon)^{n} - k^{n}<q$ พอใจพร้อมกัน
เราจะพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้โดยการเหนี่ยวนำ: สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบใด ๆ $y$ และสำหรับจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก $q$ มีอยู่ $\varepsilon>0$ ดังนั้น $(y+\varepsilon)^{n} - y^{n} < q$. กรณี$n=1$ชัดเจน ตอนนี้สมมติว่าข้อความได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับ$n=k$. เราต้องแสดงให้เห็นว่ามีไว้เพื่อ$n=k+1$. โปรดทราบว่า$(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} = (y+\varepsilon)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon$. ปล่อย$q_{0}$ เป็นจำนวนบวกที่มีเหตุผลน้อยกว่า $q/2(y+1)$. จำนวนดังกล่าวมีอยู่โดยประพจน์ 5.4.14 โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำของเรามีอยู่$\varepsilon_{0}$ ดังนั้น $(y+\varepsilon)^{k} - y^{k} < q_{0}$. นอกจากนี้ยังมี$\varepsilon_{1}$ ดังนั้น $\varepsilon_{1} < 2y^{k}$. ดังนั้นการปล่อยให้$\varepsilon = $นาที$(1, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$เราเข้าใจแล้ว $(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} < (y+1)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon < q/2 + q/2 < q$. เสร็จสิ้นการเหนี่ยวนำ
แต่นี่แสดงว่ามีอยู่จริง $\varepsilon>0$ ดังนั้น $(y+\varepsilon)^{n} < q + y^{n}\leq x$ซึ่งหมายความว่า $(y+\varepsilon)\in E$. ด้วยประการฉะนี้$y$ ไม่ใช่สุดยอดของ $E$ความขัดแย้ง
ต่อไปสมมติว่า $y^{n} > x$. โปรดทราบว่านี่หมายความว่า$y>0$, ตั้งแต่ $y^{n} = 0$ ถ้าและต่อเมื่อ $y=0$. จากนั้นมีจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก$q$ ดังนั้น $y^{n}-x\geq q$. ดังนั้นหากเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีอยู่จริง$0 < \varepsilon < y$ ดังนั้น $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$เราทำเสร็จแล้ว หากขาดวิธีการแก้ปัญหาที่หรูหรากว่าในขณะนี้เรามาทำขั้นตอนการเหนี่ยวนำแบบเดียวกับข้างต้น เราต้องการพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนจริงบวกใด ๆ$y$ และจำนวนเหตุผลบวกใด ๆ $q$ มีอยู่ $\varepsilon$กับ $0<\varepsilon < y$, ดังนั้น $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$. กรณีฐาน$n=1$ชัดเจน ต่อไปสมมติว่าเราได้พิสูจน์คำแถลงของ$n=k$. โปรดทราบว่า$y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k}$. โดยประพจน์ 5.4.14 (มีเหตุผลระหว่างสองจริงใด ๆ ) มีจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก$q_{0}$ ดังนั้น $q_{0} < q/(2y)$. ตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำของเราเรารู้ว่ามีอยู่$\varepsilon_{0}$ ดังนั้น $y^{k} - (y-\varepsilon)^{k} < q_{0}$. นอกจากนี้ให้$\varepsilon_{1} < q/(2y^{k})$. จากนั้นปล่อยให้$\varepsilon = $นาที$(y, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$, เราได้รับ $y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < q/2 + q/2 = q$. สิ่งนี้จะปิดการเหนี่ยวนำ ดังนั้นการใช้สิ่งนี้$\varepsilon$เราเข้าใจแล้ว $-(y-\varepsilon)^{n} < q - y^{n} \leq -x$ซึ่งหมายความว่า $(y-\varepsilon)^{n} > x$. ดังนั้น$y-\varepsilon$ เป็นขอบเขตบนสำหรับ $E$ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า $y$ เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดสำหรับ $E$.
เนื่องจากทั้งสอง $y^{n}<x$ และ $y^{n}>x$ นำไปสู่ความขัดแย้งเราสรุปได้ว่า $y^{n}=x$.