“ ผกผัน” $N$- ปัญหาร่างกาย [ปิด]

Question

มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จัก $N$- ปัญหาร่างกายในกลศาสตร์คลาสสิก: ระบุตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วของ $N$ อนุภาคในอวกาศบางแห่งอธิบายถึงพลวัตของมันในช่วงเวลาหนึ่ง

ฉันสนใจปัญหา "ผกผัน" บางรูปแบบ: สมมติว่าเรารู้ว่ามี $(N+1)$อนุภาคในอวกาศ เราได้รับวิถีของ$N$ของอนุภาคเหล่านี้ในช่วงเวลาหนึ่ง ปัญหาคือการเรียกคืนวิถีของ$(N+1)$อนุภาคที่ -th ในช่วงเวลาเดียวกัน

ถือว่าสนามพลังพื้นฐานเป็นที่รู้จัก ตัวอย่างเช่นเราสามารถสันนิษฐานได้ว่าอนุภาคแต่ละคู่ถูกดึงดูดตามกฎกำลังสองผกผัน

ชื่อที่ถูกต้องที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับปัญหานี้คืออะไร? ปัญหานี้อธิบายไว้ในวรรณกรรมหรือไม่?

Answer 1

ถ้าระบบถูกแยกออกจากนั้นจุดศูนย์กลางมวลของระบบนี้จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ (โดยปกติจะเป็นศูนย์) $\mathbf{v}_c$: $$ \sum_{i=1}^{N+1}m_i\mathbf{r}_i(t)=M \mathbf{r}_c(t)=M(\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_c t) $$ ถ้า $\mathbf{r}_i(t)$ เป็นที่รู้จักของทุกคน $i=1,\ldots,N$แล้ว $\mathbf{r}_{N+1}(t)$หาได้จากสมการนี้: \ begin {สมการ} \ tag {1} \ mathbf {r} _ {N + 1} (t) = \ frac {1} {m_ {N + 1}} \ left (M ( \ mathbf {r} _0 + \ mathbf {v} _c t) - \ sum_ {i = 1} ^ {N} m_i \ mathbf {r} _i (t) \ right) \ end {สมการ}สมการนี้มี 2 พารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก : ตำแหน่งเริ่มต้นของจุดศูนย์กลางมวล$\mathbf{r}_0$ และความเร็วของมัน $\mathbf{v}_c$. พารามิเตอร์เหล่านี้สามารถ (สันนิษฐาน) ได้จากการกำหนดให้สมการของการเคลื่อนที่ (เนื่องจากเป็นที่รู้กันว่ากฎแห่งการโต้ตอบ)

อัพเดท:

ที่จะได้รับ $\mathbf{r}_0$ และ $\mathbf{v}_c$ จากสมการการเคลื่อนที่:

สมมติว่าพลังงานศักย์คือ: $U=\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=i+1}^{N+1}U(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)$. จากนั้นสมการการเคลื่อนที่ของแต่ละอนุภาคคือ:$$ m_i\mathbf{\ddot{r}}_i=-\sum_{k=1}^{N+1}U'(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|} $$ สำหรับอนุภาคแรก: $$\tag{2} m_1\mathbf{\ddot{r}}_1=-\sum_{k=1}^{N}U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_k|}-U'(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}|)\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_{N+1}}{|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{N+1}|} $$ การแทนวิธีแก้ปัญหา (1) เป็นสมการ (2) และการตั้งค่า $t=0$ นำไปสู่สมการสำหรับ $\mathbf{r}_0$. แน่นอนว่าสมการสามารถเป็นแบบไม่เชิงเส้นและสามารถมีคำตอบได้หลายวิธี

หลังจาก $\mathbf{r}_0$ พบ $\mathbf{v}_c$ สามารถหาได้จากสมการเดียวกัน (2) สำหรับ $t>0$.