Rational Roots (มี Square Roots มากมาย!)

Question

หาจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุด $a,$ มากกว่า 1,000 เช่นนั้นสมการ $$\sqrt{a - \sqrt{a + x}} = x$$ มีรากที่มีเหตุผล

กำลังสองข้างเรามี $a-\sqrt{a+x}=x^2.$ เราจะไม่ยกกำลังสองอีกครั้งเนื่องจากให้ควอร์ติก $x.$ เรามี $$-x^2+a-\sqrt{a+x}=0 \implies x^2-a+\sqrt{a+x}=0.$$เราจะดำเนินต่อไปอย่างไร? แนวทางแก้ไข? (ฉันไม่มีในหนังสือ)

Answer 1

เนื่องจากสมการควอร์ติกเป็นโมนิกกล่าวคือมีรูปแบบ $$x^4+ \dots =0$$ ตามทฤษฎีบทรากที่มีเหตุผล $x$ต้องเป็นจำนวนเต็ม Moreoever$$x=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}>0$$ ดังนั้น $x$ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ตอนนี้พิจารณาสมการ$$\sqrt{a+x}=a-x^2$$ และโทร $$y=\sqrt{a+x}=a-x^2$$ โปรดทราบว่า $y=\sqrt{a+x}>0$เป็นจำนวนเต็มบวก จากนั้นคุณมีสองสมการ$$y^2=a+x$$ $$y=a-x^2$$ การลบทั้งสองสมการที่คุณได้รับ $$y^2-y=x+x^2$$ ซึ่งสามารถเขียนเป็น $$y(y-1)=(x+1)x$$ ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกที่ไม่เหมือนใคร: $y=x+1$. ด้วยประการฉะนี้$$a=x^2+y=x^2+x+1$$ ดังนั้นคุณต้องหาจำนวนที่น้อยที่สุด $a$ ซึ่งสามารถแสดงเป็น $a=x^2+x+1$ ที่ไหน $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $x^2+x+1>1000$. ตอนนี้$x=32$ เป็นวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มน้อยที่สุดและ $$a=32^2+32+1=1057$$ คือหมายเลขที่คุณกำลังมองหา