รูปแบบพื้นฐานแรก

Question

Wolfram MathWorld กำหนดพาราโบลาและพารามิเตอร์ที่แตกต่างเป็น

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

ทีนี้ถ้าพารามิเตอร์เหล่านี้สอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ $E$, $F$ และ $G$อธิบายไว้ที่นี่ฉันไม่เข้าใจว่าพวกเขามาถึงนิพจน์ได้อย่างไร$Q$.

Answer 1

แม้จะมีความคิดเห็น / คำตอบอื่น ๆ แต่ปริมาณเหล่านี้เป็นรูปแบบพื้นฐานแรกตามปกติ โปรดทราบว่าลิงก์ Wiki กำหนด$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. เหล่านี้เป็นเรื่องปกติ$E,F,G$และเป็นผลิตภัณฑ์ดอทของอนุพันธ์ของพารามีทริเซชั่นที่เกี่ยวกับตัวแปรอิสระ ในกรณีของคุณพารามิเตอร์แรกคือ$u$ และพารามิเตอร์ที่สองคือ $v$และในความเป็นจริงเรามี \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} ฉันไม่แน่ใจว่าทำไม Wolfram ถึงใช้ตัวอักษรต่างกัน

หากคุณต้องการการอ้างอิงต่อไปตรวจสอบของฉันข้อความค่าเรขาคณิต

Answer 2

รูปแบบพื้นฐานแรกคือผลคูณภายในของพื้นที่สัมผัสในบางจุดของพื้นผิวเมื่อคุณพิจารณาพื้นผิวที่มีอยู่ในพื้นที่โดยรอบ $\mathbb{R}^3$. หากคุณมีพาราโบลา$z=b(x^2+y^2)$แล้วเวกเตอร์แทนเจนต์ของพื้นผิวที่สร้างพื้นที่สัมผัสคือ

$v=[1,0, 2bx]$

และ

$w=[0,1,2by]$

ณ จุดนี้สามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของรูปแบบพื้นฐานแรกได้ดังนี้

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

ในลิงค์ของคุณเกี่ยวกับพาราโบลาฉันเดาว่าอาร์กิวเมนต์เป็น geodesic บนพาราโบลา