"Simplicial complex" ผลิตภัณฑ์ของกลุ่ม?
ปล่อย $X=(V,E)$ เป็นกราฟและจุดยอดแต่ละจุด $v \in V$เชื่อมโยงกลุ่ม $G_v$. ผลิตภัณฑ์กราฟของกลุ่มต่างๆ$G_v$(ตามที่กำหนดเช่นที่นี่ ) คือ$F/R$; ผลหารของผลิตภัณฑ์ฟรีของ$G_v$ โดยกลุ่มย่อยปกติที่สร้างโดยคอมมิวเตเตอร์ $[G_{u_1},G_{u_2}]$, ที่ไหน $\{u_1,u_2\} \in E$.
ปล่อย $K$ เป็นคอมเพล็กซ์อย่างง่ายบนเซตจุดยอด $V$และปล่อยให้ $G_v$เป็นกลุ่มต่างๆ นอกจากนี้ยังสามารถเชื่อมโยงผลิตภัณฑ์กราฟของกลุ่ม$G^K$ ถึง $K$ โดยการใช้กราฟซึ่งเป็นไฟล์ $1$- โครงกระดูกของ $K$. $G^K$ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายที่สูงขึ้นของ $K$. โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับใบหน้าที่ขาดหายไปของมิติที่มากกว่า$1$.
ฉันต้องการค้นหาลักษณะทั่วไปของการสร้างผลิตภัณฑ์กราฟของกลุ่มเพื่อพิจารณาความเรียบง่ายที่สูงขึ้น (หรือใบหน้าที่ขาดหายไป) ของ $K$แต่ซึ่งเห็นด้วยกับการสร้างผลิตภัณฑ์กราฟของกลุ่มในกรณีนั้น $K$ เป็นธง
เราสามารถพยายามสร้างลักษณะทั่วไปนี้ได้โดยใช้การกำหนดรูปแบบของแผนภาพที่เหมาะสมใน $\mathbf{Grp}$. นั่นคือใช้โคลิมิตของไดอะแกรม$\mathcal{D}: Cat(K) \rightarrow \mathbf{Grp}$, functor จากหมวดหมู่ใบหน้าของ $K$ ถึง $\mathbf{Grp}$ซึ่งเชื่อมโยงกับแต่ละซิมเพล็กซ์ $\{v_{i_1},...,v_{i_j} \} = \sigma \in K$ ผลิตภัณฑ์โดยตรง $\prod_{j} G_{v_{i_j}}$และใช้การรวมสิ่งที่เรียบง่ายเข้ากับการรวมกลุ่ม
วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลเนื่องจากยังคงขึ้นอยู่กับไฟล์ $1$- โครงกระดูกของ $K$. ดูเหมือนว่าปัญหาจะไม่มี "การสื่อสารที่สูงขึ้น" ใน$\mathbf{Grp}$.
ในหนังสือ Metric Spaces of Non-Positive Curvature Bridson และ Haefliger กำหนดกลุ่มเชิงซ้อนและกลุ่มพื้นฐานของคอมเพล็กซ์ดังกล่าว เราสามารถใช้$K$เพื่อสร้างกลุ่มที่ซับซ้อนอย่างง่าย (เชื่อมโยงกับทุกซิมเพล็กซ์ผลคูณของกลุ่มจุดยอด) จากนั้นจึงหากลุ่มพื้นฐาน การก่อสร้างนั้นดูเหมือนว่าจะทำให้ฉันอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ดูเหมือนจะไม่สามารถใช้ / ปรับสิ่งนี้ให้เป็นลักษณะทั่วไปของผลิตภัณฑ์กราฟของกลุ่มได้ - แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มพื้นฐานที่เป็นผลลัพธ์ดูเหมือนจะขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายที่สูงขึ้นของ$K$.
โดยสัญชาตญาณ (สำหรับฉัน) กลุ่มพื้นฐานดูเหมือนจะไม่แปรผันซึ่งขึ้นอยู่กับ "ลูป" ใน $K$แทนที่จะหายไปใบหน้า
การดูกลุ่มเป็นกลุ่มโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องและการใช้ homotopy colimit ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่เป็นไปได้ แต่การสร้าง homotopy colimits ใน $\mathbf{TGrp}$ ดูเหมือนมีส่วนร่วมมาก
มีการก่อสร้างที่ทำให้ลักษณะทั่วไปดังกล่าวเป็นไปได้หรือไม่?
คำตอบ
ฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้จะช่วยได้ไหม แต่ใน https://arxiv.org/pdf/math/0101220.pdfเราใช้ผลิตภัณฑ์กราฟของช่องว่าง (ซึ่งฉันคิดว่าแดนนี่โคเฮนเคยแนะนำมา แต่ฉันไม่แน่ใจ) สิ่งนี้นำไปสู่ผลิตภัณฑ์กราฟเทนเซอร์ของความละเอียดไขว้ของกลุ่ม สิ่งนี้จะให้ความละเอียดของผลิตภัณฑ์กราฟ ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับการตีความตามหมวดหมู่ของผลิตภัณฑ์กราฟของช่องว่างนั้น
ในกรณีของคุณอาจมีจุดที่จะแทนที่กลุ่มไม่ใช่ตามกลุ่มโทโพโลยี (ไม่ต่อเนื่อง) แต่อาจเป็นโดย groupoids (โดยใช้แต่ละกลุ่มเป็นกลุ่มที่มีวัตถุชิ้นเดียว) หรือตามเส้นประสาทซึ่งเป็นการจำแนกช่องว่างของกลุ่ม สิ่งนี้สอดคล้องกับสถานการณ์ของเรา แต่ไม่มีการสับเปลี่ยนที่สูงขึ้นซึ่งมาจากการใช้คอมเพล็กซ์ไขว้ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถคิดถึงการตั้งค่าทั่วไปอื่น ๆ โปรดจำไว้ว่าหมวดหมู่ของกลุ่มสามารถคิดได้ว่าเป็น 2 หมวดหมู่โดยการฝังไว้ในหมวดหมู่ของ groupoids และเกี่ยวข้องกับการผันคำกริยาดังนั้นอาจเป็นประโยชน์สำหรับคำถามของคุณ นอกจากนี้ยังมีไฟล์$cat^n$- กลุ่มของการสร้างแบบจำลอง Loday ของ homotopy $n$- ประเภทซึ่งความรู้สึกถึงการสับเปลี่ยนที่สูงขึ้นเป็นหลักฐานอย่างแน่นอนเนื่องจากสิ่งเหล่านี้จะถูกข้ามไปด้วย $n$- ก้อนของกลุ่ม (ฉันสามารถให้รายละเอียดเพิ่มเติมได้หากต้องการ)
BTW การสื่อสารที่สูงขึ้นที่คุณต้องการและสิ่งที่คุณบอกว่าไม่มีอยู่ในนั้น $\mathbf{Grp}$มีอยู่ในกลุ่มที่เรียบง่าย (oid) ดังนั้นให้ขยายกลุ่มของคุณให้เป็นมิติที่สูงขึ้นเพื่อเข้ารหัสการแลกเปลี่ยนที่สูงขึ้นซึ่งมาจากตัวสับเปลี่ยนหลายตัว (สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับปัญหามากมายในการเขียนทฤษฎีใหม่ แต่นั่นจะทำให้ฉันห่างไกลจากคำถามของคุณมากเกินไป!)
การตั้งค่าอื่นที่อาจทำให้คุณได้แนวคิดบางประการคือแนวคิดที่สำรวจโดย Abels and Holz (H. Abels และ S. Holz รุ่นที่สูงขึ้นตามกลุ่มย่อย J. Alg, 160: 311– 341, 1993) มีความเรียบง่ายที่สูงกว่าคือ ตีความว่ามาจากการครอบคลุมของกลุ่มโดยกลุ่มย่อย (และคนหนึ่งรู้ข้อมูลเกี่ยวกับ homological ในกลุ่มย่อยเหล่านั้น) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความคิดของ Haefliger แต่ไม่ได้ไปในทิศทางเดียวกัน ในแนวความคิดเกี่ยวกับ orbifolds และ stacks ทั้งหมดนี้อาจจะซุ่มซ่อนอยู่ แต่อีกครั้งฉันจะไม่สำรวจสิ่งเหล่านี้ที่นี่ (เนื่องจากฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในพื้นที่เหล่านั้น)
ฉันหวังว่าแนวคิดเหล่านี้จะช่วยได้
แก้ไข: ฉันเพิ่งมีความคิดอื่นเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างความคิดข้างต้นบางส่วน นั่นคือการคิดถึงกลุ่มย่อยของคอมมิวเตเตอร์ภายใน$F$ เนื่องจากการข้ามโมดูลจึงไม่สร้างผลหาร $F/R$ เช่นนี้ แต่จากไป $[G_u,G_v]$ ราวกับว่าอยู่ในมิติที่สูงขึ้นไป $F$. วัตถุที่ได้จะรับงานนำเสนอที่คุณให้เป็นสิ่งสำคัญแทนที่จะเป็นกลุ่มที่นำเสนอ หนึ่งควรจะสามารถให้ความหมายสำหรับตัวสับเปลี่ยนสามตัวและด้วยเหตุนี้จึงได้โมดูล 2 ขีดหรือสิ่งที่คล้ายกัน (อีกครั้งหากคุณต้องการข้อมูลอ้างอิงฉันสามารถให้ได้ แต่ที่นี่จะไม่ใช่สถานที่ที่ดี)