ทำ $\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$ บรรจบกัน?
พิจารณาผลรวมต่อไปนี้ (โดยที่ $\Im(z)$ หมายถึงส่วนจินตภาพของ $z$)
$$\Im(e^i+e^{e^i}+e^{e^i+e^{e^i}}\dots)$$
ได้แก่ ;
$$\Im(\lim_{n\to\infty}a_n)$$ $$a_1=e^i,\ \ \ a_{n+1}=a_n+e^{a_n}\ \ \ \forall n\geq1$$
ฉันเขียนโค้ด python ทั่วไป ( ลองใช้งานออนไลน์ ) และรู้สึกประหลาดใจที่เห็นการบรรจบกันอย่างชัดเจน$\approx9.424$
ฉันกังวลเป็นพิเศษกับส่วนจินตภาพเพราะส่วนจริงดูเหมือนจะแตกต่างจากลอการิทึม
สิ่งนี้บรรจบกันหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นมีนิพจน์อื่นสำหรับค่าคงที่หรือไม่?
บางทีการทดสอบ Dirichlet อาจมีประโยชน์ แต่ฉันไม่รู้วิธีดำเนินการต่อ
คำตอบ
หลังจากทำซ้ำสองสามครั้งเราก็มาถึง $$a_n = -b_n + i(3\pi + \varepsilon_n)$$ ด้วย $b_n > 0$ และ $\lvert \varepsilon_n\rvert < \frac{\pi}{2}$. แล้ว$$e^{a_n} = -e^{-b_n}\cdot e^{i\varepsilon_n} = -\frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} - i\frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ และ $$a_{n+1} = a_n + e^{a_n} = -\biggl(b_n + \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr) + i\biggl(3\pi + \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}\biggr)\,.$$ ด้วยประการฉะนี้ $b_{n+1} > b_n$ และ $$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_n - \frac{\sin \varepsilon_n}{e^{b_n}}$$ มีเครื่องหมายเดียวกันและมีขนาดเล็กกว่า $\varepsilon_n$. (ที่นี่เรามี$\varepsilon_n > 0$แต่สำหรับค่าเริ่มต้นอื่น ๆ เราอาจไปถึงส่วนจินตภาพที่เล็กกว่าค่าคี่ของ $\pi$.)
ก็เป็นไปตามนั้น $\varepsilon_n$ มาบรรจบกันและยังคงเห็นว่าขีด จำกัด คือ $0$. สมมติว่าขีด จำกัด คือ$\delta \neq 0$. แล้วสำหรับทุกคน$n$ เรามี $$\lvert \varepsilon_n - \varepsilon_{n+1}\rvert = \frac{\sin \lvert\varepsilon_n\rvert}{e^{b_n}} \geqslant \frac{\sin \lvert\delta\rvert}{e^{b_n}}$$ และเป็นไปตามนั้น $$\sum_{n = N}^{\infty} e^{-b_n} < +\infty\,. \tag{$\ ast$}$$ ตั้งแต่ $$\lvert b_n - b_{n+1}\rvert = \frac{\cos \varepsilon_n}{e^{b_n}} \leqslant e^{-b_n}$$ ต่อไปตามนั้น $b_n$ มาบรรจบกันโดยเฉพาะ $b_n < B$ เพื่อทุกสิ่ง $n$ และบางส่วน $B$แต่สิ่งนี้ขัดแย้ง $(\ast)$. ดังนั้น$$\lim_{n \to \infty} \varepsilon_n = 0$$ ดังต่อไปนี้
ไม่ใช่หลักฐานที่สมบูรณ์ แต่เป็นข้อบ่งชี้ที่ชัดเจน
$$\lim_{n\to\infty}\Im(a_n)=3\pi$$
หากขีด จำกัด มาบรรจบกันแล้ว
$$\lim_{n\to\infty}(\Im(a_n)-\Im(a_{n+1}))=0$$ ดังนั้นการแก้ปัญหาควรตอบสนอง
$$\Im(z)=\Im(z+e^{iz})$$ $$\implies\Im(z)=\Im(z)+\Im(e^{iz})$$ $$\implies\Im(e^{iz})=0$$ $$\implies\sin(z)=0$$ $$\implies z=\pi n\ \ \ \forall n\in\mathbb{Z}$$
พิจารณาแนวทางการประมาณการเชิงตัวเลข $3\pi$(ตามที่ระบุไว้โดยStinking Bishop , JGและGottfried Helms ) ทั้งซีรีส์ก็มาบรรจบกัน$3\pi$หรืออย่างใดอย่างหนึ่งค่อยๆแกว่งไปมาระหว่างจุดคงที่ที่น่าสนใจของแบบฟอร์ม $\pi n$. หากเป็นเช่นนั้นจริงก็อยากรู้ว่าแม้จะมีการเริ่มต้นของไฟล์$a_1=e^i$ซึ่งอยู่ใกล้กว่ามาก $\pi n$ สำหรับ $n\in\{-1,0,1,2\}$มันชอบที่จะมาบรรจบกันอย่างตั้งใจ $3\pi$.
โดยพื้นฐานแล้วเรามี
$S_{n+1}=S_n+\exp(S_n)$
Render $S_n=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)$. แล้ว
$S_{n+1}=\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n+i(k\pi+\epsilon_n))$
$=(\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n))+i((k\pi+\epsilon_n)+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)))$
ครั้นแล้ว
$\alpha_{n+1}=\alpha_n+\exp(\alpha_n)\cos(k\pi+\epsilon_n)$
$\epsilon_{n+1}=\epsilon_n+\exp(\alpha_n)\sin(k\pi+\epsilon_n)$
จะเกิดอะไรขึ้นต่อไปขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของ $k$. ถ้า$k$ เป็นคู่แล้วก็อยู่ในขีด จำกัด ของขนาดเล็ก $|\epsilon_n|$ เราแสดง $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to 1$ และ $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to \epsilon_n$ดังนั้น:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n+\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1+\exp(\alpha_n))$
นี่แสดงถึงความไม่เสถียรเนื่องจากไฟล์ $\epsilon_n$ ระยะคูณด้วยตัวประกอบที่มากกว่า $1$และที่แย่กว่านั้นคือปัจจัยเพิ่มขึ้นเพราะ $\alpha_n$กำลังเพิ่มขึ้น. เราหนีไปมากกว่าหนึ่งวิธีจากความเป็นไปได้นี้
ถ้า $k$ เป็นเรื่องแปลกแล้ว $\cos(k\pi+\epsilon_n)\to -1$ และ $\sin(k\pi+\epsilon_n)\to -\epsilon_n$แล้ว:
$\alpha_{n+1}\to\alpha_n-\exp(\alpha_n)$
$\epsilon_{n+1}\to\epsilon_n(1-\exp(\alpha_n))$
ตอนนี้ $\epsilon$ พารามิเตอร์คูณด้วยจำนวนบวกที่น้อยกว่า $1$ช่วยให้มีสภาพที่มั่นคง นอกจากนี้$\alpha$พารามิเตอร์ลดลงลอการิทึม คำตอบของสมการความแตกต่างสำหรับ$\alpha_n$ ให้ $\alpha_n\sim -\ln n$. ดังนั้นจุดคงที่ที่เสถียรจึงเป็นทวีคูณคี่โดยเฉพาะ$\pi$. เราคาดว่าการบรรจบกันเป็นค่าคี่มากกว่าการคูณ$\pi$.
มีข้อผิดพลาดเล็กน้อยในผลลัพธ์นี้ เพราะ$\alpha$ กำลังลดลงตัวคูณเปิดอยู่ $\epsilon$ ใกล้เข้ามาแล้ว $1$ดังนั้นการบรรจบกันของ $\epsilon$เป็นศูนย์ช้าลง สิ่งนี้อาจอธิบายได้ว่าเหตุใดผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลขจึงมาบรรจบกันเพียงช้าๆจนถึงจุดคงที่คงที่ที่$3\pi$.
อัปเดต: มีแนวโน้มว่า "ความสัมพันธ์ผกผันอย่างง่าย" (หลัง eq 2) จะยุ่งเหยิง ไม่รู้ว่าจะซ่อมได้ไหม
หมายเหตุ: นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นการออกกำลังกายที่อาจให้ความกระจ่างกับปัญหาทั้งหมด
เช่นเดียวกับที่ Oscar Lanzi กล่าวไว้ในความคิดเห็นของเขา ("ลองตั้งค่าคำเริ่มต้น ... ") ฉันได้ดูพฤติกรรมของการวนซ้ำที่จุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน
นำไปสู่คำถามของฟังก์ชั่นย้อนกลับและนี้จะลองไม่ว่าเราจะสามารถไปย้อนกลับจาก$z_0=\exp(î)$ และดูว่ามีค่าอะไร $z_{-1}$ จะทำซ้ำเป็น $z_0$ และอื่น ๆ
ฉันพบฟังก์ชันผกผันต่อไปนี้ซึ่งต้องการคู่ของพารามิเตอร์ในแต่ละขั้นตอน
ปล่อย $$ f(z) = z + \exp(z) \tag 1$$ จากนั้นฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนเป็น $$ g(z,b,k) = \log( \text{LambertW}_b(\exp(z)) + k \cdot 2 \pi î \\ k,b \in \mathbb Z \tag 2$$ [หมายเหตุ: LambertW () branchindex$b$ เป็นไปตามการใช้งานของผู้ใช้ใน Pari / GP อาจเป็นสัญญาณอื่นหรือวิธีอื่นที่แตกต่างกันใน M'ma หรือ Maple et al]
จากนั้นถ้าเรามี $ z_1 = g(z_2, b,k)$ กับบางส่วนที่ได้รับ $b,k$จากนั้นเรามีความสัมพันธ์ผกผันง่ายๆ $ z_2 = f( z_1)$ .
อัปเดต: ดูเหมือนจะเป็นจริงสำหรับชุดย่อยของ $(b,k)$ และ $b$ และ $k$ มีความสัมพันธ์เชิงเส้นและขึ้นอยู่กับ $z_2$. เป็นความผิดตามคำกล่าวอ้างทั่วไป ตัวอย่างข้อมูลปัจจุบัน (ดูด้านล่าง) และรูปภาพถูกต้อง
น่าเสียดายที่ตรงกันข้ามไม่ใช่เรื่องง่าย ถ้าเรามี$ z_2 = f(z_1)$ ด้วยการให้ $z_1$ จากนั้นค่าที่เหมาะสมสำหรับ $b$ และ $k$ ใน $z_1=g(z_2,b=?,k=?)$ ต้องสังเกตุได้รับการพิจารณา
ดูเหมือนว่าในการวนซ้ำจนถึงระยะอนันต์$b$- พารามิเตอร์สำหรับLambertW ()ควบคุมส่วนที่แท้จริงของคอนเวอร์เจนต์และ$k$พารามิเตอร์ branch สำหรับlog ()ควบคุมส่วนจินตภาพของคอนเวอร์เจนท์
ตัวอย่างเช่นหากต้องการค้นหาหนึ่งตัวทำหน้าที่เป็นไปได้สำหรับ$z_0=\exp(î)$ เราสามารถเลือกพารามิเตอร์ที่ง่ายที่สุดสำหรับ $g()$ กล่าวคือ $b=0$ และ $k=0$ และรับ $$ z_{-1} = g(\exp(î),0,0) = -0.194208607165 + 0.469149782638 î \tag {3.1}$$ ตรวจสอบ: $$ f(z_{-1}) = z_0 = 0.540302305868 + 0.841470984808 î = \exp(î) \tag {3.2} $$
ที่นี่ดูเหมือนว่าเราจะมีสิ่งนั้น $\Re (f(g(z_0,b,k)))=\Re( z_0)$ เป็นอิสระจากค่าของ $(b,k)$ และเฉพาะส่วนจินตภาพเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขั้นตอนของ $2 \pi$.
แต่การประเมินในทางกลับกัน$ g(f(z_0),b,k) = z_0$ ถูกต้องเฉพาะกับค่าที่ไม่ซ้ำกันใน $b$ และใน $k$.
ฉันเดาว่าสำหรับการวนซ้ำของดัชนีพูด $i=20$เมื่อองค์ประกอบจินตภาพมาถึงบริเวณคอนเวอร์เจนซ์และวิวัฒนาการขององค์ประกอบจริงจะราบรื่นพารามิเตอร์สำหรับขั้นตอนถอยหลัง $z_{19}=g(z_{20},b_{20},k_{20})$ กลายเป็นค่าคงที่และแน่นอนย้อนกลับไป $z_7$ เรามีเสมอ $ z_{i-1} =g(z_{i},0,2)$.
ตอนนี้ถ้าเราดำเนินการต่อจาก $z_7$ ย้อนกลับไปอีกด้วยพารามิเตอร์เดียวกัน $(b,k)=(0,2)$แทน ...
... เราไปไม่ถึง$z_0 = \exp(î)$ แต่มีคุณค่าอื่น ๆ
ลองดูว่าพารามิเตอร์อะไรบ้างที่เราต้องการเมื่อย้อนกลับไป $z_7$ ถึง $z_6$ และ $z_0$.
ดูการวนซ้ำ$z_0$ ถึง $z_9$ และพารามิเตอร์ $b_i$ และ $k_i$ สำหรับการทำซ้ำแต่ละครั้ง:
z b k
--------------------------------------+--+--+----------------------
z_0: 0.540302305868+0.841470984808*I 0 0 ---> z_1
z_1: 1.68413794966+2.12135398618*I 1 0 ---> z_2
z_2: -1.13455960996+6.71301817364*I 0 1
z_3: -0.842246816784+6.84701983939*I 0 1
z_4: -0.478178799834+7.07722157180*I 0 1
z_5: -0.0436380449935+7.51933514381*I 0 1
z_6: 0.270773188633+8.42353070970*I 1 1 ---> z_7
z_7: -0.436174626083+9.52756299919*I 0 2 ---> z_8 from here parameters
z_8: -1.07926736567+9.46122892125*I 0 2 are always (0,2)
เริ่มต้นที่ $z_7$ เราจะทำ $z_6=g(z_7,1,1)$, $z_5=g(z_6,0,1)$, $z_4=g(z_5,0,1)$, ...
แง่มุมที่น่าสนใจกว่าคือที่นี่เราสามารถทำซ้ำได้อีกครั้งอย่างไม่สิ้นสุดในทิศทางย้อนกลับ (โดยใช้ $g(,0,2)$) กับคู่ค่าคงที่ของพารามิเตอร์ $(0,2)$ และดูเหมือนจะวนซ้ำไปทาง $- \infty + 4 \pi î$
นี่คือพล็อตของวงโคจรบางส่วนของ $30$ ขั้นตอน $f()$ (สี: น้ำเงิน) ได้แก่ $z_0$ ถึง $z_{30}$ แล้ววงโคจรบางส่วนของ $63$ ขั้นตอน $g( ,0,2)$ (สี: ทอง) ได้แก่ $z_{30}$ ถึง $z_{-32}$.
