ทำ $M$-injectivity impy injectionivity?

Question

ปล่อย $N,M\in R$- โหมด เราว่าอย่างนั้น$N$ คือ $M$-injectiveถ้ามี$L$ โมดูลย่อยของ $M$ และ homomorphism ใด ๆ $f:L\rightarrow N$ มี homomorphism $g\colon M\rightarrow N$ ที่ขยายออกไป $f$.

ในทางตรงกันข้าม, $N$เป็นโมดูลแบบฉีดหากมีสองตัว$A,B\in R$-mod เช่นนั้น $A\subseteq B$ และ $f\in \text{Hom}_R(A,N)$ มีองค์ประกอบอยู่ $g\in \text{Hom}_R(B,N)$ ที่ขยายออกไป $f$.

ฉันพูดถูกหรือเปล่าว่า "โมดูลหัวฉีดทุกตัวเป็นเพียงไฟล์ $B$- โมดูลวัตถุประสงค์? หรือฉันสูญเสียรายละเอียดเล็กน้อยไปหรือไม่?

Answer 1

$N$ คือการฉีดถ้ามันเป็น $M$- วัตถุประสงค์สำหรับโมดูลทั้งหมด$M$.

แต่มันเป็นทฤษฎีบท (เกณฑ์ของเยอร์) นั่นเอง $N$ คือการฉีดถ้ามันเป็น $R$- คุณศัพท์