ถ้า $X = \{ |p(z)|<c\}$แสดงว่าขอบเขตของ $X$ คือ $\{ |p(z)| = c\}$ และแต่ละองค์ประกอบของ $X$ มีศูนย์ของ $p$.

Aug 16 2020

ฉันกำลังลองใช้ปัญหาในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนของสถาบันที่ฉันไม่ได้เรียนและฉันได้พบกับปัญหานี้โดยเฉพาะ

ปล่อย $p$ เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ $c>0$ และ $X=\{z:p(z)<c\}$. พิสูจน์ว่า$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ และส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของ $X$ มีศูนย์ $p$.

ความพยายาม: ให้ $C$ เชื่อมต่อส่วนประกอบของ $X$. แล้ว$\partial C$ เป็นส่วนย่อยของ $\partial X$ และอื่น ๆ $|p(z)| \leq c$. แต่ฉันไม่คิดว่าจะมีข้อโต้แย้งอื่นใดนอกเหนือจากนี้

ดังนั้นโปรดแจ้งให้ทราบว่าปัญหานี้ควรได้รับการแก้ไขอย่างไร

คำตอบ

1 zhw. Oct 04 2020 at 03:17

คุณสมบัติง่ายๆของ $p$:

i) ตั้งแต่ $p$ เป็นพหุนามที่ไม่คงที่ $p$รับกับทุกค่าที่ซับซ้อน ดังนั้นชุด$X=\{|p|<c\}$ และ $\{|p|=c\}$ ไม่ว่างเปล่า

ii) ชุด $X$ เปิดโดยความต่อเนื่องของ $|p|.$

สาม) $|p(z)|\to \infty$ เช่น $|z|\to\infty.$

จาก iii) เป็นไปตามนั้น $X$มีขอบเขต มิฉะนั้น$X$ จะมีลำดับ $z_n$ ดังนั้น $|z_n|\to \infty,$ ด้วยเหตุนี้ $|p(z_n)|\to \infty,$ ละเมิดคำจำกัดความของ $X.$

ปล่อย $z\in \partial X.$ แล้ว $z$ คือขีด จำกัด ของลำดับใน $X.$ โดยนัยนี้ $|p(z)|\le c.$ สามารถ $|p(z)|<c$เกิดขึ้น? ไม่เพราะงั้น$z\in X$และมันไม่สามารถเป็นจุดแบ่งเขตได้ ก็เป็นไปตามนั้น$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

ตอนนี้สมมติว่า $|p(z)|=c.$ ปล่อย $r>0.$ แล้ว $p(D(z,r))$ ถูกเปิดโดยทฤษฎีบทการแม็ปแบบเปิดดังนั้นจึงมีจุดของโมดูลัสน้อยกว่า $c$ และจุดของโมดูลัสที่มากกว่า $c.$ ด้วยประการฉะนี้ $D(z,r)\cap X$ และ $D(z,r)\cap X^c$ทั้งไม่ว่างเปล่า ตั้งแต่$r$ ตามอำเภอใจ $z\in \partial X.$ สิ่งนี้กับย่อหน้าสุดท้ายพิสูจน์ได้ $\partial X = \{|p|=c\}.$

เรียกคืนทฤษฎีบทโมดูลัสสูงสุด: สมมติว่า $U$เป็นชุดเชื่อมต่อแบบเปิดที่มีขอบเขต ปล่อย$f$ ต่อเนื่อง $\overline U$ และ holomorphic บน $U.$ ถ้าสูงสุดของ $|f|$ เกิดขึ้นใน $U,$ แล้ว $f$ คงที่

ตอนนี้ปล่อยให้ $C$ เป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อของ $X.$ พวกเรารู้ $\partial C \subset \partial X,$ ซึ่งหมายความว่า $|p|=c$ บน $\partial C.$ และแน่นอนว่า $|p|<c$ ใน $C.$

สมมติ $C$ ไม่มีศูนย์ของ $p.$ แล้ว $p$ ไม่ใช่ศูนย์ $\overline C,$ชุดกะทัดรัด ด้วยประการฉะนี้$|p|$ บรรลุขั้นต่ำในเชิงบวกในบางส่วน $z_0 \in \overline C.$ โดย MMT $z_0\in C.$ แต่สังเกต $1/p$เป็นไปตามสมมติฐานของ MMT ดังนั้นการใช้ MMT อีกครั้ง

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

ตั้งแต่ $|p(z_0|<c,$ เรามีความขัดแย้งและเราทำเสร็จแล้ว