ทำไม $E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Question

ในการพิสูจน์ต่อไปนี้ฉันมีความสับสนในบรรทัดสุดท้ายที่นี่

พิสูจน์ว่าฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซต $E$ สามารถวัดผลได้ $\iff$E สามารถวัดได้
หลักฐาน:สมมติว่า$E$ เป็นชุดที่วัดได้ในพื้นที่การวัด $X$. ถ้า$\alpha \le 0$แล้ว $\{x:\chi_E(x)<\alpha\}=\phi$ชุดที่วัดได้ ถ้า$\alpha>1$แล้ว $\{x:\chi_E(x)>\alpha\}=X$ชุดที่วัดได้ สุดท้ายถ้า$0< \alpha \le 1$แล้ว $\{x:\chi_E(X)<\alpha\}=X\backslash E$ชุดที่วัดได้ เราสรุปว่า$\chi_E$เป็นฟังก์ชันที่วัดผลได้
สมมติว่า$\chi_E$เป็นฟังก์ชันที่วัดผลได้ แล้ว$\textbf{$E = X \ แบ็กสแลช \ {x: \ chi_E (x) <1/2 \}$}$ เป็นชุดที่วัดได้

ความพยายามของฉัน : ที่นี่ให้สิ่งนั้น$\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = X \setminus E$ ที่ไหน $0 <\alpha \le 1$

ตามความคิดของฉัน $\{ x: \chi_E (x) < \alpha \} = E$ ที่ไหน $0 \le \alpha < 1$

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม $E = X \setminus \{ x: \chi_E (x) < \frac{1}{2} \}?$

Answer 1

$\chi_E(x) \ge 1/2$ฉันหมายความว่าอย่างนั้น $\chi_E(x) \ge 1/2$เช่น $\chi_E(x) =1$ และ $x \in E$.

ในทางกลับกันถ้า $x \in E$ แล้ว $\chi_E(x)=1$, $\chi_E(x) \ge 1/2$ และ $\chi_E(x) \ge 1/2$.

โปรดจำไว้ว่าแผนที่ลักษณะเฉพาะใช้เวลาเท่านั้น $0$ หรือ $1$ สำหรับค่า

Answer 2

$\chi_E$ ใช้เวลาเพียงสองค่า $0$ และ $1$. ดังนั้น$\chi_E(x) \geq \frac 1 2$ iff $\chi_E(x)=1$ iff $x \in E$. ด้วยประการฉะนี้$x \in E$ ถ้ามันไม่เป็นความจริง $\chi_E(x) <\frac 1 2 $.