ทำไม $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$เหรอ?

Question

ปัญหาของฉัน:

สมมติ $\mathcal{E}$ และ $\mathcal{H}$ เป็นส่วนย่อย$\sigma$-algebras ของ $\sigma$-พีชคณิต $\mathcal{F}$. ปล่อย$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ และ $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. สมมติว่า$\mathcal{E}$ เป็นอิสระจาก $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

แล้ว $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

ความพยายามของฉัน:

ฉันลองใช้การกำหนดลักษณะ $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ เพื่อทุกสิ่ง $\mathcal{H}$- ตัวแปรสุ่มที่วัดได้และมีขอบเขตหรือ $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ เพื่อทุกสิ่ง $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$ตัวแปรสุ่มที่วัดได้และมีขอบเขต

Answer 1

นี่คือผลลัพธ์ที่ทราบโดย ell โดย Doob

ทฤษฎีบท:ให้$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ และ $\mathscr{C}$ ย่อย -$\sigma$--algebras ของ $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ เพื่อทุกสิ่ง $A\in \mathscr{A}$.

นี่คือหลักฐานการยิง:

สมมติว่า $\mathscr{A}$ และ $\mathscr{B}$ เป็นอิสระตามเงื่อนไขที่กำหนด $\mathscr{C}$, นั่นคือ $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ เพื่อทุกสิ่ง $A\in \mathscr{A}$ และ $B\in \mathscr{B}$. จากนั้นสำหรับใด ๆ$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ และ $C\in\mathscr{C}$ เรามี $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ ตั้งแต่ $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$อาร์กิวเมนต์คลาสเสียงเดียวแสดงให้เห็นว่า $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ เพื่อทุกสิ่ง $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. ซึ่งหมายความว่า$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

ในทางกลับกันสมมติว่า $\eqref{doob-independence}$ถือ. สำหรับใด ๆ$A\in\mathscr{A}$ และ $B\in\mathscr{B}$ เรามี \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} นี่แสดงให้เห็นว่า $\mathscr{A}$ และ $\mathscr{B}$ ได้รับอิสระ $\mathscr{C}$.

การขยายไปยังตัวแปรสุ่มทำได้โดยการขยายฟังก์ชั่นแรกเป็นฟังก์ชันธรรมดาจากนั้นโดยการประมาณค่าเสียงเดียวตามปกติโดยฟังก์ชันง่ายๆ