Bunu kanıtlamak $x^2$ tekdüze sürekli değil

Question

Biz biliyoruz ki $f(x)=x^2$ bir fonksiyon olarak tekdüze sürekli değildir $f:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty)$. Doğrusu bırak$\epsilon=1$. Herhangi$\delta>0$, seçebiliriz $\alpha>0$ yeterince büyük ki $\alpha\delta+\delta^2/4\geq \epsilon$. Sonra ayarlarsak$$x=\alpha$$ $$y=\alpha+\frac{\delta}{2}$$ bulduk $|x-y|<\delta$, hala $|f(x)-f(y)|\geq\epsilon$. Dolayısıyla$\epsilon-\delta$ tekdüze süreklilik tanımı reddedilir ve $f$ tekdüze sürekli değildir.

Şimdi eğer $X\subset\mathbb{R}$ herhangi bir açık sınırsız küme mi, bunu nasıl kanıtlarız $f:X\rightarrow [0,\infty)$tekdüze sürekli değil mi? Yukarıdakine benzer bir prosedür izlemeyi denedim, ancak işe yaramadı. Yaşadığım zorluk bundan emin olamıyorum$y=\alpha+\delta/2\in X$, Çünkü $X$ daha dar aralıklarla açık, sınırsız bir küme olabilir. $x$ örneğin artar $$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n},\sqrt{n}+\frac{1}{n}).$$

Yukarıdakiler göz önüne alındığında, yukarıdaki kanıtı değiştirmenin bir yolu var mı? $f:X\rightarrow [0,\infty)$durum? Sadece bir kanıt almakla ilgilenmiyorum, ancak ispatımın nasıl değiştirilebileceğini veya bu durumda değiştirilemeyeceğini bilmek istedim.

Answer 1

Bu doğru değil. Düşünmek$X = \bigcup_n (n,n+\tfrac1{n^2})$. Not eğer$x,y \in (n,n+\tfrac1{n^2})$, sonra $$ |f(x) - f(y)| \le |f(n+\tfrac1{n^2}) - f(n)| = \tfrac2n + \tfrac1{n^2} \le \tfrac3n .$$ Verilen $\epsilon > 0$, Seç $N > \frac3\epsilon$. Eğer$x,y \in \bigcup_{n\ge N} (n,\frac1{n^2})$, ve $|x-y| < \tfrac12$, sonra $|f(x) - f(y)| < \epsilon$. Dan beri$f(x)$ eşit olarak süreklidir $[0,N+1]$, bulabiliriz $\delta > 0$ ve $\delta < \tfrac12$ öyle ki eğer $x,y \in [0,N+1]$, sonra $|x-y| < \delta$ ima eder $|f(x) - f(y) < \epsilon$.