Dinamik sistemin hacminin anlamı nedir
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemdurum uzayı veya faz uzayının hacminin değişmez olduğunu açıklar. Ders notu "11 Garip çekicilerin ve Lyapunov dim." Başlıklı Strogatz kitabından alınan, denklem (2) 'de hacmin koordinat dönüşümünü göstermektedir. Notta gösterilen ispatın, garip çekiciye sahip sistemlerin hacminin koordinat dönüşümü gibi bir tür dönüşüm altında değişmez olduğu anlamına gelip gelmediğini anlamak istiyorum. Koordinat dönüşümü ile, faz uzayı yeniden yapılandırmasını oluşturabiliriz ve bunu kullanarak garip bir çeker elde edebiliriz . Kaotik dinamik sistem için doğru parametre ayarı seçimi üzerine tuhaflığı görebiliriz. Ama kanıtı anlayamıyorum.
Soru: Biri lütfen garip çekicilere sahip sistemler için hacmin dönüşüme göre değişmediğini ve bunun ne anlama geldiğini nasıl kanıtlayacağını gösterebilir mi?
Tuhaf çekicilerin hacmi küçülüyor mu yoksa genişliyor mu?
GÜNCELLEME: 18 Ağu
Yorumlar altındaki tartışmaya dayanarak, anlayabildiğim her şeyden yazabileceğim şey bu. Prova yazımını zarif bir şekilde bitirmedeki yardımı takdir edeceklerdir.
Kanıt: Kaotik dinamiklerde sistemler tarafından gösterilen garip çekicinin hacmi, bazı dönüşümler altında değişmez ve bir ölçü veya bir ölçüdür.
Benim fikrim, bırak $n_a$ çeken boyut ve $d$ gömme boyutu ve çekicinin bir hacmi olması $v$ çekici boyutuyla $n_a$. Skaler değerli zaman serileri mevcutsa, çekiciyi şu şekilde yeniden yapılandırabiliriz:$d$ Takens'in gecikme gömme yöntemi ile boyutsal faz uzayı, $d \ge 2n+1$ nerede $n$gözlemlenen sistemin boyutudur. Gerçek değeri hakkında bilgimiz yok$n_a$. Çünkü enerji tüketen sistemler için hacim$v \le 0$, ancak ve ancak $n \le n_a$ve boyutu sıfırdan küçük olduğu için sıfıra eşittir $n_a$. Bu nedenle, herhangi bir enerji tüketen sistem çekicinin sıfır olan hacmini korur. Koordinat değişimine gelince, çeker bir ölçü sıfır ayarlı olduğundan, çekicinin herhangi bir düzgün harita altındaki görüntüsü de sıfır ölçüsü olacaktır.
Şimdi çekicinin sıfıra ayarlanmış bir ölçü olduğunu ve Lebesgue ölçüsü gibi bir ölçü olduğunu nasıl kanıtlayabilirim? Biri lütfen bu kanıtı resmi olarak yazmada yardımcı olabilir mi? Teşekkür ederim.
Yanıtlar
Hacim dediklerinde, gerçekten `` ölç '' anlamına gelir. Uzayda bir ölçü$X$ bir işlev $\mu$ uzunlukları (veya alanları, hacimleri veya olasılıkları - belirli bir alanı) atayan $X$ veya bağlam genellikle ölçünün ne olduğunu nasıl düşündüğünüzü, yani ölçümün) "güzel" konularına göre belirler. $X,$ "güzel", önceden birisinin bazı alt kümeleri seçtiği anlamına gelir. $X$ölçebileceğimiz. Bunlara ölçülebilir setler denir.
Bir harita $T : X\rightarrow X$ olduğu söyleniyor $\mu$- değişken ise (a) her zaman $S$ ölçülebilir, yani $T^{-1}(S)$, ve B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ her ne zaman $S$ ölçülebilir.
Nasıl kontrol edileceğine gelince, bu büyük ölçüde ayrıntılara bağlıdır. İnanılmaz derecede yaygın ve yararlı bir numara, ölçülebilir her alt küme için (a) veya (b) koşullarının geçerli olduğunu kontrol etmenize gerek olmamasıdır - eğer (a) ve (b) 'yi `` üreten' 'bir kümeler ailesinde kontrol ederseniz ölçülebilir setler koleksiyonu, daha sonra her yerde tutulduğu sonucuna varabilirsiniz. Örneğin, alanınız$X = [0, 1]$ olağan "Lebesgue ölçümü" ile $X$ uzunluğu, bunu kontrol etmek yeterli $T$ aralık ölçülerini korur.
Birkaç şey:
- Denklem 2 altındaki nota dikkat edin:
Dağıtıcı sistemlerde çekiciler bulunurken, hacim koruyucu sistemlerde çekiciler veya kovucular olamaz.
Bu, "hacim" ifadesinin Lebesgue ölçümü anlamına geldiği anlamda doğrudur, yani normal hacim tanımı $\mathbb{R}^n$. Çekiciler, zorunlu olarak faz uzayının kendisinden daha düşük bir boyuta sahiptir, bu nedenle hacmi (Lebesgue anlamında) 0 olmalıdır; ör. bir yüzeyin hacmi$\mathbb{R}^3$yüzey 2 boyutlu olduğu için 0'dır. Belki de bu hacmin korunması önemsizdir çünkü çekicinin mutlaka Lebesgue hacmi sıfırdır.
Görünüşe göre bu, sorunuzu yanıtlıyor. Bununla birlikte, tuhaf çekiciler üzerindeki dinamikler tipik olarak ergodiktir ; bu, ilk Wikipedia makalesinde okuduğunuz bölümdür. Ergodik dinamikler tipik olarak değişmez ölçü denilen bir şeye sahiptir , bu da dinamikler tarafından korunan (değişmez) bir miktar hacim kavramı (ölçü) olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, bir kişi çekiciyi parametrelendirebiliyorsa, yani,$\mathbb{R}^n$ çekiciye, çekicinin değişmez ölçüsü anlamında "hacim" ve dinamikler gerçekten korunacaktır.