Aproximación de una suma doble por una integral doble
En relación con esta pregunta , estoy interesado en limitar desde arriba la siguiente suma$$ S:=\sum_{x=0}^\infty \sum_{y=0}^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}}, $$ que espero hacer relacionándolo con la integral $$ I:=\int_0^\infty \int_0^\infty (x+y)^m e^{-\frac{x^2}{2i} - \frac{y^2}{2j}} dx\,dy. $$
Las respuestas a las preguntas anteriores confirmaron mi expectativa de que $I = O\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right)$, cuya intuición es probablemente que la función se comporta aproximadamente como un gaussiano alrededor de su máximo en $(x_0,y_0) = \left(i \sqrt{\frac{m}{i+j}},j \sqrt{\frac{m}{i+j}} \right)$, donde la función toma el valor $\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)$.
Sin embargo, no he podido demostrar que la diferencia $|I-S|$es significativamente menor que este límite. Para integrales simples unidimensionales, por ejemplo con un máximo único, no es demasiado difícil delimitar esta diferencia en términos del máximo considerando sumas telescópicas apropiadas. Sin embargo, un análogo ingenuo de este argumento no parece funcionar en dos dimensiones, y tratar de aplicar este argumento a cada "porción" de la integral condujo a algunos cálculos bastante horrendos. También consideré usar la fórmula de Euler-Maclaurin, pero está un poco fuera de mi área de especialización.
Sospecho que debería haber una forma relativamente estándar de aproximar $|I-S|$, y tampoco me sorprendería que alguien más competente en informática pueda obtener un CAS para proporcionar una prueba. Lo primero sería más útil, solo para tener una herramienta para abordar preguntas similares.
Entonces, muy explícitamente, me gustaría saber si $$ |I-S| = o\left(\exp\left(m\log\sqrt{(i+j)(m)}-\frac{m}{2}\right)\sqrt{ij}\right), $$donde incluso big-O sería suficiente para la aplicación que tengo en mente, y no me sorprendería si la diferencia estuviera incluso delimitada por un múltiplo del máximo de la función. Me interesan las asintóticas para$i$ y $j$ tendiendo al infinito, $m$ puede ser fijo o también una función de $i$ y $j$. Para la aplicación que tengo en mente, probablemente sería suficiente tener tal resultado para$i = (1+o(1))j$ y $m = o(i)$.
Respuestas
No puedo proporcionar una respuesta real, pero solo algunas consideraciones y sugerencias que, con suerte, podrían ser útiles.
La función $$ f(x,y) = \left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} $$ tener una forma de campana (cortada) en el primer cuadrante, significa que es cóncava alrededor del máximo y convexa más lejos de él.
Esto hace bastante difícil relacionar la integral con la suma de Riemann con un $>, <$, porque el signo de la desigualdad cambia en las dos áreas.
Además, al aumentar $i, \, j$, mientras que la posición del movimiento máximo $\approx \sqrt{i}$, y así aproximadamente su propagación aumenta el pico de campana $\approx i^{m/2}$.
Desde el$\Delta x , \, \Delta y$ de la suma se fijan en $1$, Dudo que la suma converja a la integral.
En cuanto a la integral, probaría el siguiente enfoque $$ \eqalign{ & I = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {\left( {x + y} \right)^{\,m} e^{ - \,{{x^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{y^{\,2} } \over {2\,j}}} dxdy} } = \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ s = x + y \hfill \cr t = x - y \hfill \cr} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \matrix{ x = \left( {s + t} \right)/2 \hfill \cr y = \left( {s - t} \right)/2 \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & = \int_{y\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{x\, = \,0}^{\,\infty } {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } = \cr & = \int_{s\, = \,0}^{\,\infty } {\int_{t\, = \, - s}^{\,s} {s^{\,m} e^{ - \,{{\left( {s + t} \right)^{\,2} } \over {2\,i}}\, - {{\left( {s - t} \right)^{\,2} } \over {2\,j}}} {1 \over 2}dsdt} } \cr} $$ entonces también considera que $$ \eqalign{ & - \,\left( {{{s^{\,2} + t^{\,2} + 2st} \over {2\,i}}\, + {{s^{\,2} + t^{\,2} - 2st} \over {2\,j}}} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}} \left( {{t \over s}} \right) + 1} \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2i\,j}}\left( {\left( {{t \over s}} \right)^{\,2} - 2{{i - j} \over {i + j}}\left( {{t \over s}} \right) + \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) = \cr & = - \,{{\left( {i + j} \right)s^{\,2} } \over {2\,i\,j}} \left( {\left( {\left( {{t \over s}} \right) - {{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} + 1 - \left( {{{i - j} \over {i + j}}} \right)^{\,2} } \right) \cr} $$ podemos cambiar las variables de nuevo $$ \left\{ \matrix{ s = s \hfill \cr r = t/s \hfill \cr} \right.\quad J = \left| {\left( {\matrix{ 1 & 0 \cr { - t/s^{\,2} } & {1/s} \cr } } \right)} \right| = {1 \over s} $$ y luego proceda con la aproximación o expansión en serie de la función de error.