Campo de fracción de $\mathbb Z_p[[X]]$
Sabemos que el campo de fracción $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$está estrictamente contenido en el campo de la serie Laurent Power$\mathbb Q_p((X))$, gracias a este resultado de Gilmer. Entonces mi pregunta es:
¿Es posible describir explícitamente los elementos de $F$?
Algunas preguntas similares ya se han hecho aquí o en Mathoverflow. Quizás el más relevante sea éste respecto al cálculo explícito del campo de fracción de$\mathbb Z[[X]]$. Alguien sugiere en los comentarios de la pregunta vinculada que el problema con$\mathbb Z_p$ (en vez de $\mathbb Z$) debería ser más fácil.
Aquí se dan algunas condiciones generales necesarias cuando los coeficientes de la serie de potencias se encuentran en cualquier dominio, pero me gustaría encontrar algunas condiciones suficientes en el caso particular de$\mathbb Z_p$.
Muchas gracias de antemano
Respuestas
Di que tienes una serie de poder $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.
Si es distinto de cero, puede escribirlo como $X^np^m\sum_k b_kX^k$ con $b_0 \notin (p)$.
En particular, como $\mathbb Z_p$ es local, $b_0$ es invertible, por lo que $\sum_kb_k X^k$ también es invertible: solo tienes que invertir $X^np^k$
En particular, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.
Entonces un elemento $f\in \mathbb Q_p((X))$ es en $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ si y solo si el $p^n$ en los denominadores están acotados
(la descripción anterior muestra el bit "solo si" y para "si": si están acotados, multiplicar por $p^k$ para $k$ lo suficientemente grande te hace aterrizar en $\mathbb Z_p((X))$)
Como YCor señala en los comentarios de la pregunta de MO sobre $\mathbb Z[[X]]$, la pregunta es probablemente más fácil en los anillos locales de manera más general, aunque aquí de hecho he usado que el ideal máximo era principal (por lo que esto funciona sobre anillos de valoración discretos)