Campos intermedios de la extensión simple $\mathbb{C}(x)$

Question

Dejar $\mathbb{C}(x)$ ser el campo de las funciones racionales sobre $\mathbb{C}$. Por supuesto$\mathbb{C}(x)$ es una extensión de campo de $\mathbb{C}$. Mi pregunta ahora es: ¿hay algún campo intermedio entre$\mathbb{C}$ y $\mathbb{C}(x)$? Si es así, ¿qué podemos decir sobre su dimensión? ¿Es siempre infinito?

Answer 1

Un resumen de los comentarios (excluyendo el resultado de las reuniones que deben publicar por separado). $K$ representa un campo intermedio arbitrario estrictamente intermedio, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$.

1. Porque $\Bbb{C}$es algebraicamente cerrado, no tiene extensiones algberaicas. Por tanto, no hay extensiones finitas. Por lo tanto$[K:\Bbb{C}]=\infty$.
2. Por otro lado, si $u=f(x)/g(x)$ es un elemento arbitrario de $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, entonces $x$ es un cero del polinomio $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ Por lo tanto $x$ es algebraico sobre $K$. Por lo tanto$[K(x):K]<\infty$. Pero,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, entonces podemos concluir que $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$. No se puede decir nada más, ya que fácilmente vemos que$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ por cada entero positivo $n$, por lo que el grado de extensión puede ser arbitrariamente alto.
3. Según el teorema de Lüroth, cada campo intermedio$K$ es en realidad una simple extensión trascendental de $\Bbb{C}$. En otras palabras,$K$ es $\Bbb{C}$-isomórfico a $\Bbb{C}(x)$.