Clasificación de funciones holomorfas en el semiplano derecho con ciertas condiciones

Question

El siguiente problema proviene de un antiguo examen preliminar de análisis complejo:

Determinar todas las funciones analíticas $f: H \rightarrow \mathbb{C}$ en el medio plano $H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$ que satisfacen $f(\sqrt{n}) = n$ y $|f^{(n)}(1)| \leq 3$ para todos los enteros positivos $n$.

Claramente $f(z) = z^2$satisface esto, y deseo mostrar que este es el único ejemplo. Tenga en cuenta que$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$ no satisface el límite de la derivada para cualquier $\epsilon > 0$. Además, el límite derivado implica que cualquier$f$ es analítica y sub-exponencial con orden 1. Puedo aplicar el teorema de Carlson para demostrar que $h(z): =f(z) - z^2$ es exactamente cero, pero esto parece un martillo muy pesado para usar en un problema preliminar.

¡Cualquier orientación sobre una prueba más simple sería muy apreciada!

Answer 1

Dejar $g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; ya que$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$ lo conseguimos $g$ originalmente definido en $\Re z >-1$ se extiende a una función completa que satisface $|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.

Asumir $g$ distinto de cero y $k \ge 1$ el orden del cero de $g$ a $0$. Entonces sí$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$ el número $N(R) \ge [R^2]$ de ceros de $g$ con $|z|\le R$ satisface (por el teorema de Jensen):

$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$

así que mediante mayorizaciones fáciles usando $N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, uno obtiene:

$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$ por alguna constante $M$ que incorpora la integral en LHS de $0$ decir $10$ y $\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, entonces obtenemos una contradicción para grandes $R$