Codimensión dos foliaciones con superficies transversales

Aug 19 2020

Supongamos que tengo algunos cerrados$4$-colector$X$y una foliación de codimensión dos$\mathcal{F}$, así como una superficie cerrada$\Sigma$de auto-intersección no negativa que es en todas partes transversal a$\mathcal{F}$.

Entonces, ¿qué tipo de restricciones hay en la foliación?$\mathcal{F}$? Esta pregunta da algunas respuestas en el caso de que$X$es una superficie compleja y$\mathcal{F}$es holomorfo, pero estoy más interesado en lo que sucede en el caso real.

Respuestas

GaelMeigniez Sep 08 2020 at 01:47

En este caso real, hay pocas restricciones. De hecho, elige$\Sigma\subset X$tal que$X$admite un campo suave de 2 planos$\xi$(no necesariamente integrable) transversal a$\Sigma$. Entonces, es fácil perturbar un poco$\xi$para hacerlo integrable en un pequeño barrio de$\Sigma$. Entonces, por un teorema de Thurston (Commentarii 1974),$\xi$, siendo de dimensión real$2$, puede ser homotopado rel.$\Sigma$hacerse integrable en todas partes. Incluso puede comenzar extendiendo$\xi$a una foliación parcial de su elección sobre cualquier subconjunto regular de$X$. Entonces, las posibilidades son enormes.