Cómo calcular el último dígito de $122^{122}$? [duplicar]
Trato de usar $$122^{122} = 2^{122} (\mod 10)$$
Pero yo uso MATLAB que $122^{122}=2 (\mod 10)$ y $2^{122}=4 (\mod 10)$. ¿Por qué no son iguales? La captura de pantalla es la siguiente:
Respuestas
Ya no tengo acceso a Matlab, así que no puedo reproducir este error exactamente por mi parte. Se observa un error similar cuando uso Octave en línea :
octave:2> mod(122^122, 10)
ans = 0
Debería utilizar una función como powermod . El truco es que no queremos calcular$122^{122}$ explícitamente.
Darse cuenta de $122^{122}$es un número muy grande y está trabajando en punto de flotación de doble precisión que supera el flintmax . Por encima de este valor, el formato de doble precisión no tiene precisión de números enteros y no todos los números enteros se pueden representar exactamente.
La respuesta es de hecho $4$.
Aquí está el resultado de Python:
>>> 122**122 % 10 # cool, it can be computed
4
>>> pow(122, 122, 10) # preferred.
4
Puede utilizar el teorema del resto chino. Ya que$2$ y $10$ no son relativamente primos, Euler no es directamente aplicable.
$10=2\cdot5$y $2^{122}\equiv0\bmod2$. Obtenemos$\varphi (5)=4\implies2^{122}\equiv2^2\equiv4\bmod5$, y la respuesta es $4$.
$122^{122} \equiv 2^{122} (\text{mod $10$})$
Como, $2^5\equiv 2 (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{120}\equiv 2^{24} \equiv 2^{4} (\text{mod $10$})$ $\implies 2^{122} \equiv 2^{6} \equiv 4 (\text{mod $10$})$
Mire el problema general de encontrar el último dígito de $n^m$.
Tomar $n=10N+h$ dónde $0\le h\le9$ y $m=4M+k$ dónde $0\le k\le3$.
El poder de los dígitos tiene un período de $4$ modulo $10$ de la siguiente manera: $$1\to1\to1\to1\\2\to4\to8\to6\\3\to9\to7\to1\\4\to6\to4\to6\\5\to5\to5\to5\\6\to6\to6\to6\\7\to9\to3\to1\\8\to4\to2\to6\\9\to1\to9\to1$$
Ejemplo: $797^{723}=(10N+7)^{4\cdot180+3}\equiv7^3\pmod{10}=3\pmod{10}$.
Aplique esto para encontrar la respuesta a su problema.
Realmente, $ 122^{122} mod 10 = 4$. Ellos son iguales.